L’ultima lettera

Qualche giorno fa mio cugino, che di mestiere fa il matematico, ha accennato la storia di uno dei più grandi matematici mai esistiti. Ne sono talmente rimasto colpito che ho approfondito l’argomento e, visto che si tratta di un francese, mi sembra giusto ricordarlo su questo blog in questi giorni di travaglio per i cugini d’oltralpe.

Ovviamente sarò prolisso e noioso, quindi basta che andiate a mettere mi piace in fondo al testo, se non avete voglia di leggere…

Évariste Galois nacque a Bourg-la-Reine, vicino Parigi, il 25 ottobre 1811. I genitori, Nicholas Gabriel Galois e Adelaide Marie Demante, erano entrambi molto intelligenti e molto preparati in filosofia, letteratura classica e religione. La madre fu la sua insegnante fino all’età di 12 anni, preparandolo soprattutto in Greco, Latino e Religione, cosa che lo educò ad una sorta di “scetticismo”. Il padre era un membro influente della comunità di Bourg-la-Reine e nel 1815 ne divenne anche Sindaco.

La Francia viveva un periodo storico di cambiamenti, come la presa della Bastiglia nel 1789 o l’esecuzione di Luigi XVI nel 1793 con l’inizio del “Regime del Terrore”; spesso definito nella storiografia semplicemente come Il Terrore, fu una fase storica della Rivoluzione francese che ebbe inizio nel luglio 1793. Fu caratterizzato dal predominio politico dei membri del Comitato di salute pubblica, che introdussero una serie di misure repressive di crescente durezza contro gli avversari politici sia dell’estrema sinistra, sia della destra repubblicana, sia delle fazioni controrivoluzionarie realiste. La politica del Comitato era diretta a rafforzare la fazione giacobina, mettere in atto misure a favore dei sanculotti e della piccola borghesia cittadina, schiacciare tutti gli oppositori interni della rivoluzione, combattere con maggiore efficacia la guerra esterna contro le monarchie europee dell’Antico regime.

Il Regime del Terrore, caratterizzato da un elevatissimo numero di condanne a morte ed eccessi nell’esercizio della repressione, terminò il 9 termidoro dell’anno II (27 luglio 1794) con la caduta e l’esecuzione dei tre più influenti membri del Comitato di salute pubblica. Tuttavia la Francia cominciò ad avere tempi migliori sotto il comando di Napoleone Bonaparte, che divenne Console nel 1800 e Imperatore nel 1804.

Le sconfitte di Napoleone (Campagna di Russia nel 1812 e Waterloo nel 1815) lo consegnarono alla Storia e diedero il via ad un rientro della monarchia, prima con Luigi XVIII e, nel 1824 con Carlo X.

A quel tempo Galois era a scuola e si era iscritto al Liceo Louis-le-Grand come convittore nella classe 4 °, il 6 ottobre 1823. Durante il primo periodo ci fu una ribellione di studenti che ne vide espulsi 40, ma Galois non ne fu coinvolto, anzi, proprio nel biennio 1824-25 raccolse i migliori risultati scolastici, ricevendo anche numerosi premi. Tuttavia nel 1826 dovette ripetere l’anno perché i suoi risultati in retorica non erano sufficienti. L’anno dopo si iscrisse ad un corso di matematica tenuto dal Prof. M. Vernier e ne fu assorbito completamente, tanto che il direttore del corso scrisse:

It is the passion for mathematics which dominates him, I think it would be best for him if his parents would allow him to study nothing but this, he is wasting his time here and does nothing but torment his teachers and overwhelm himself with punishments.

Le note scolastiche lo descrivevano come singolare, bizzarro, originale e di carattere chiuso e riservato, ed è interessante notare come uno dei più originali tra i matematici fosse criticato per il suo essere originale…

Vernier scriveva:

Intelligence, marked progress but not enough method.

Nel 1828 Galois fu bocciato all’esame di ammissione dell’École Polytechnique, che era la maggiore università parigina. Ma Galois era interessato ad entrarvi anche per motivi politici, in quanto ardente repubblicano come i genitori e come i movimenti studenteschi del Politecnico.

Tornato al Liceo Louis-le-Grand, si iscrisse alla classe del matematico Louis Richard. Egli si dedicava però solo alle cose che gli suscitavano un certo interesse, come la geometria di Legendre e i trattati di Lagrange. Come lo stesso professor Richard riportava:

This student works only in the highest realms of mathematics.

Tra l’aprile e il maggio del 1829, Galois vide i suoi primi articoli pubblicati sul giornale Annales de mathématiques; il primo riguardava le frazioni continue e il secondo, presentato addirittura alla “Académie des Sciences” gettava le basi della sua teoria sulla soluzione delle equazioni. Il famoso matematico Augustin-Louis Cauchy fu il suo relatore.

Ma una tragedia personale e familiare colpì Galois in quell’anno; suo padre si suicidò in Luglio e come se non bastasse, durante l’omelia funebre, il parroco di Bourg-la-Reine lesse alcuni epigrammi di carattere alquanto maligno diretti ai congiunti del defunto. Data la bontà riconosciuta del padre di Galois, lo scandalo colpì la piccola comunità del paese. Ciò colpì molto anche Évariste.

Poche settimane dopo questi fatti egli ridiede l’esame di ammissione alla École Polytechnique, fallendolo ancora, sia per i fatti familiari che ancora gravavano sulle sue spalle, sia perché riteneva superfluo spiegare agli insegnanti i passaggi con cui arrivava alle soluzioni dei suoi problemi.

Infatti una delle caratteristiche principali di Galois fu proprio questa; leggenda vuole che considerasse gli esercizi di matematica banali e non interessanti e che quindi si rifiutasse di risolverli; esasperato dall’esaminatore che gli voleva imporre di risolvere quegli esercizi, egli gli avrebbe scagliato contro il cancellino utilizzato per pulire la lavagna. È più probabile che il giovane studente si fosse semplicemente rifiutato di giustificare affermazioni e passaggi che a suo dire erano banali. Sicuramente, secondo gli storici, ad influenzare pesantemente il suo comportamento potrebbe essere stato il suicidio del padre.

Entrò così alla École Normale, nei pressi di Louis-le-Grand, e lì riuscì a laurearsi il 29 Dicembre del 1829. Il suo esaminatore scrisse:

This pupil is sometimes obscure in expressing his ideas, but he is intelligent and shows a remarkable spirit of research.

Ma nel contempo l’esaminatore di letteratura scrisse:

This is the only student who has answered me poorly, he knows absolutely nothing. I was told that this student has an extraordinary capacity for mathematics. This astonishes me greatly, for, after his examination, I believed him to have but little intelligence.

La memoria di Galois sulla teoria delle equazioni fu proposta diverse volte per la pubblicazione, ma non venne mai pubblicata mentre lui era in vita.

Inizialmente Évariste fece pervenire la sua memoria a Cauchy. Questi la esaminò e gli disse di modificarla dato che coincideva in alcuni punti con un lavoro di Abel. Galois modificò la memoria e la inviò a Fourier verso l’inizio del 1830 per poter competere al Gran Premio indetto dall’Accademia. Sfortunatamente Fourier morì e della memoria si persero le tracce. Il premio fu assegnato ad Abel e a Jacobi. Nonostante la scomparsa dello scritto, Galois pubblicò quell’anno tre lavori dove gettò le basi della sua teoria.

Nel gennaio 1831 Galois inviò al matematico Poisson un breve riassunto dei suoi lavori, chiedendogli di presentare il suo lavoro all’Accademia. Nello stesso anno, mentre era in carcere (era un rivoluzionario convinto), Galois ricevette la risposta di Poisson: questi rifiutava il lavoro, affermando che l’esposizione non era chiara ed era impossibile analizzarne con chiarezza la rigorosità, e lo invitava a lavorare per rendere il lavoro più rigoroso e comprensibile.

Galois, dopo aver letto il lavoro di Abel e Jacobi, iniziò a lavorare sulla teoria delle funzioni ellittiche e sugli integrali abeliani. Con il supporto di Jacques Sturm pubblicò tre articoli sul Bulletin de Férussac.

Nel 1830 però ci fu un’altra rivoluzione, con rivolte per le strade e con il direttore della École Normale, M. Guigniault, che chiuse i propri studenti nell’istituto per evitare coinvolgimenti nelle stesse. Scrisse anche un articolo in cui accusava gli studenti. In tutta risposta Galois scrisse un articolo sulla Gazette des Écoles attaccando il preside e ricevendo così l’espulsione dalla scuola. Si unì alla “Artiglieria della Guardia Nazionale”, che era un ramo militare della milizia repubblicana. Ma quando il nuovo Re, Luigi Filippo, arrivò, fece abolire quel reparto, temendo ritorsioni.

Ebbe modo di pubblicre altri due articoli ( rispettivamente su Annales de Gergonne  (Dicembre 1830) e su Gazette des Écoles.

Nel frattempo Poisson lo invitò a mandargli una terza versione delle memorie e lui lo fece nel gennaio del 1831.

Nel gennaio 1831 Galois inviò al matematico Poisson un breve riassunto dei suoi lavori, chiedendogli di presentare il suo lavoro all’Accademia. Nello stesso anno, mentre era in carcere (era un rivoluzionario convinto), Galois ricevette la risposta di Poisson: questi rifiutava il lavoro, affermando che l’esposizione non era chiara ed era impossibile analizzarne con chiarezza la rigorosità, e lo invitava a lavorare per rendere il lavoro più rigoroso e comprensibile.

Si è molto discusso sull’importanza di quel lavoro e sul perché un matematico intelligente come Poisson non sia stato in grado di riconoscere il valore della memoria. Alcuni argomentano che, poiché Poisson riceveva moltissimi lavori da esaminare, probabilmente la difficoltà del manoscritto e la sua contorta esposizione lo avrebbero dissuaso da uno studio attento; bisogna tuttavia notare che altri matematici (come per esempio Cauchy), pur non comprendendo a pieno il lavoro di Galois, riconobbero in esso grandi potenzialità.

Galois morì durante un duello, combattuto per salvare l’onore di una donna che il giovane amava. Vi sono altre versioni che accusano la polizia segreta del Re della responsabilità del duello affermando che la motivazione dell’onore fu solo una copertura per nascondere un omicidio politico. Quale sia la vera versione non è noto.

Quindi il 30 maggio 1832 di prima mattina venne colpito da un proiettile all’addome e il giorno seguente morì, probabilmente di peritonite, all’ospedale di Cochin. Le sue ultime parole, dette a suo fratello Alfred furono: «Non piangere! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent’anni». Galois venne sepolto in una fossa comune e si ignora tuttora dove riposino i suoi resti.

Alla vigilia del fatale duello, il 29 maggio 1832, Galois scrisse le proprie memorie in una lettera all’amico Auguste Chevalier. Ma più che una missiva di estremo congedo (Galois sapeva che non ce l’avrebbe fatta a uscire salvo dal confronto), la “Lettre à A. Chevalier” è quasi un piccolo compendio di quelle scoperte che ancor oggi vengono riconosciute come le basi della moderna matematica. Galois invocava, ormai scoraggiato dall’ottusità accademica, il giudizio di personalità straordinarie come Karl Friederich Gauss e Karl Gustav Jacobi sulla sua opera di matematico. La ferita che Galois riporta in duello è realmente l’ultima: Evariste sapeva che l’avversario era troppo abile nel maneggiare le armi per poter soltanto sperare in una vittoria. E così la sera prima di morire, con il coraggio che solo un veggente consapevole della propria sorte riesce ad avere, il giovane prodigio dei numeri lascia ai posteri soltanto un accenno delle proprie intuizioni.

Galois lascia nella lettera i principali teoremi sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e riesce anche a dimostrare l’intimo legame tra questa teoria e quella della risoluzione algebrica delle equazioni.

In matematica il termine “sostituzione” significa sostanzialmente l’operazione mediante la quale al posto di determinati elementi algebrici o geometrici, ne vengono posti altri in base a regole e a procedimenti ben definiti. Nei vari rami della matematica, pertanto, si hanno diversi casi di sostituzione. Il matematico Giacomo Bernoulli nella sua opera postuma “Ars conjectandi” del 1713 aveva già preso in considerazione le “permutazioni”, ma con la nuova denominazione di sostituzioni furono trattate in modo sistematico proprio dal suo mentore Cauchy, il quale in una lunga serie di lavori diede esposizioni ordinate della teoria dei gruppi di sostituzioni e delle sue applicazioni alle equazioni. Ma il primo a riconoscere il nesso fra la teoria dei gruppi di sostituzioni e la teoria delle equazioni algebriche fu proprio Galois che riuscì a dimostrare come ad ogni gruppo di sostituzioni corrisponda un’equazione, introducendo anche per primo la denominazione di gruppo. Galois, in altre parole, usò questo nome per un insieme di un numero qualunque di sostituzioni su n elementi quando il prodotto di due sostituzioni qualsiasi, distinte o no, dell’insieme appartiene all’insieme stesso.

Nella stessa lettera Galois presentava un gruppo particolare, detto ora Gruppo di Galois, la cui struttura permette di decidere sulla risolubilità o meno di un’equazione per radicali. Più precisamente il matematico francese, per mezzo del gruppo che ora porta il suo nome, riuscì a gettare piena luce sulla risolubilità o meno dei problemi geometrici mediante l’uso della riga e del compasso. Il Gruppo di Galois, infatti, è esattamente un gruppo di sostituzioni sulle radici di un’equazione algebrica (priva di radici multiple) su cui si riflettono le proprietà dell’equazione. Per esempio: ad un’equazione risolubile per radicali corrisponde un gruppo risolubile e viceversa. Infine, proprio sulla base di questi appunti incompleti che Galois lasciò nella sua lettera, venne poi definito Campo di Galois ogni corpo commutativo (o campo numerico) con un numero finito di elementi, e in particolare il campo numerico di p elementi formato dalle p classi distinte dei resti nella divisione degli interi per un numero primo p.

I contributi matematici di Galois furono alla fine pubblicati nel 1843 da Joseph Liouville che, ricevuto il manoscritto, lo lesse attentamente, lo sistemò per rendere l’esposizione più semplice. Al termine del suo lavoro Liouville dichiarò che effettivamente Galois aveva risolto il problema generale sulla risolubilità delle equazioni, che consisteva nel determinare le condizioni necessarie per risolvere algebricamente un’equazione, precedendo Abel. Il manoscritto fu pubblicato nel numero di ottobre-dicembre sul Giornale di Matematica pura e applicata.

La teoria esposta in quello scritto si chiama ora “Teoria di Galois”.

 

 

 

Fonti: Articolo di J. J. O’Connor and E. F. Robertson

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