Giganti e nani

Ancora una volta Albert Einstein ha avuto ragione. Le onde gravitazionali previste per via teorica dal fisico tedesco nel 1916 sono state rilevate in modo diretto per la prima volta dal Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory (LIGO), negli Stati Uniti nel settembre 2015; i dati sono stati poi elaborati dal VIRGO (che è un rivelatore interferometrico di onde gravitazionali situato nel comune di Cascina (PI), in località Santo Stefano a Macerata) e sono stati pubblicati sulla rivista “Physical Review Letters”. Si è trattato del risultato della fusione tra due buchi neri super-massicci avvenuto a 1,3 miliardi di anni luce da noi (quindi 1,3 miliardi di anni fa…). Avevo io stesso accennato qualcosa sull’argomento in “L’onnipotenza logora chi non c’è là…” .

Per capire la portata della scoperta dobbiamo capire cos’è un’onda gravitazionale. La teoria classica la definisce come un’increspatura del tessuto dello spazio-tempo. Per visualizzare meglio il significato dobbiamo ricorrere ad un esempio. Immaginate che lo spazio sia un gigantesco tappeto di gomma (come nella vecchia sigla di “Quark”, per intenderci): gli oggetti dotati di massa fanno piegare il tappeto, esattamente come quando proviamo a camminare su un materassino da mare. Più la massa è grande e più lo spazio è incurvato e deformato per effetto della gravità. Per esempio, la ragione per la quale la Terra gira intorno al Sole è che il Sole ha una massa enorme, il che provoca una grande deformazione dello spazio intorno ad esso. Qualunque oggetto che provasse a muoversi in linea retta intorno ad una deformazione, si troverebbe in pratica a girare in tondo. Così funzionano le orbite: non c’è una vera forza che trattiene i pianeti in circolo, c’è solo la curvatura dello Spazio. Per tornare al nostro esempio, se mettessimo una palla da bowling sul tappeto di gomma e lanciassimo una biglia nella sua direzione tangente, la biglia inizierebbe a girare intorno alla palla da bowling (qualcuno dirà che la rotazione terminerebbe perché la deformazione attirerebbe verso il basso la biglia, ma dobbiamo immaginare l’esperimento in un ambiente non soggetto all’attrazione gravitazionale della terra!).

Le onde gravitazionali sono prodotte ogni volta che delle masse accelerano, modificando così la deformazione dello Spazio. Qualunque oggetto dotato di massa o energia (che sono diversi aspetti della stessa cosa, come postulò sempre Einstein con la celeberrima E=mc²) può generare onde gravitazionali. Se due persone cominciassero a ruotare uno intorno all’altro, come per esempio due pattinatori sul ghiaccio, provocherebbero anche loro delle increspature nel tessuto dello spazio-tempo. Queste però sarebbero estremamente piccole, praticamente impercettibili. Siccome la gravità è la più debole rispetto alle altre tre forze dell’Universo, occorrono oggetti molto massicci che si muovano molto velocemente per produrre delle increspature grandi abbastanza da essere rilevate.

Gli scienziati, per arrivare al risultato, hanno dovuto elaborare uno strumento per rilevare le increspature dello Spazio, in quanto gli strumenti di misura classici non funzionerebbero. Supponiamo di trovarci sul famoso tappeto di gomma. E supponiamo che sia uguale ad un foglio millimetrato, con i quadratini ad indicarci le distanze. Se lo spazio tra i due oggetti si dilatasse o si restringesse, non potremmo accorgercene nell’osservare i segni sul tappeto perché anche questi tratti si allontanerebbero tra di loro. C’è però un metodo di misurazione che non subisce dilatazioni ed è realizzato grazie alla velocità della luce. Se lo spazio tra due punti si dilata, allora la luce impiegherà più tempo per andare da un punto all’altro. Se invece lo spazio si restringe, la luce impiega meno tempo per percorrere lo stesso tratto.

E’ così che hanno lavorato al LIGO. Esso è dotato di un tunnel a forma di “L” lungo 4 chilometri ed usa dei laser per misurare come cambia la distanza tra le estremità del tunnel. Quando arriva un’onda gravitazionale, essa dilata lo spazio in una direzione e lo contrae nella direzione ad essa perpendicolare. Misurando l’interferenza tra i fasci laser che sono riflessi da un’estremità all’altra, i fisici possono misurare in maniera molto precisa se lo spazio tra le estremità si è dilatato o compresso. La precisione necessaria è incredibile. Per captare un’onda gravitazionale bisogna essere in grado di misurare variazioni dell’ordine di un miliardesimo del diametro di un atomo (10 alla -23 metri. Il che sarebbe come misurare se una rotaia lunga mille miliardi di miliardi di metri si è accorciata di 5 millimetri…)

Inoltre l’effetto di un’onda gravitazionale è talmente piccolo e facilmente confondibile con il rumore di fondo che c’è bisogno di una tecnica particolare per analizzare i dati. Gli scienziati hanno identificato le caratteristiche delle onde gravitazionali confrontando le ondulazioni ricevute durante l’esperimento con le ondulazioni teorizzate in precedenza. E’ come provare a riconoscere una canzone canticchiata dall’altra parte di una sala nel chiasso di una festa molto ma molto chiassosa.

Prima di capire le ricadute utili di questa scoperta, devo fare la solita, prolissa, digressione: dobbiamo capire come può lo spazio essere curvo! Faccio però una promessa: non scriverò equazioni o cose troppo complicate.

Prima di spiegare lo spazio curvo a tre dimensioni, farò un esempio di spazio curvo a due dimensioni.

Per capire il concetto di spazio curvo in due dimensioni dobbiamo realmente adottare la visuale (molto limitata) di qualcuno che abiti un simile spazio. Proviamo ad immaginare un insetto privo di occhi che viva su un piano; egli può spostarsi solo su questo piano e non saprà mai se vi a sia qualsiasi possibilità di scoprire un “mondo esterno”. Naturalmente ragioniamo per analogia; noi viviamo in un mondo tridimensionale, non riusciamo assolutamente a immaginare come potremmo uscirne lungo una qualche nuova direzione: dobbiamo affrontare la questione ragionando come se fossimo insetti che vivono su un piano e vi fosse uno spazio in un’altra direzione. Ecco perché da principio ragioniamo sull’insetto, ricordando che deve vivere sulla sua superficie e non può uscirne. Consideriamo un altro esempio d’insetto bidimensionale che vive su una sfera. Supporremo che possa camminare liberamente sulla superficie sferica, ma non guardare “in su “ o “in giù “, o “fuori “. Adesso supponiamo che i nostri insetti comincino a studiare geometria. Per ipotesi sono ciechi, per cui non potranno vedere niente di “esterno”, ma con le zampe e le antenne possono fare un mucchio di cose: tracciare linee, costruire righelli, misurare lunghezze. Supponiamo dunque che partano dall’idea geometrica più semplice e imparino a tracciare una retta, intesa come la linea più corta tra due punti. Il primo insetto impara a fare bellissime rette; ma quello sulla sfera che combinerà? Tirerà una linea che per lui è la più piccola distanza fra due punti; a noi può anche sembrare una curva, ma lui non ha modo di abbandonare la sfera e scoprire che “in realtà” ci sarebbe una linea ancora più corta. Sa solo che se nel suo mondo tenta un qualsiasi altro percorso, questo sarà sempre più lungo della sua retta. Per l’insetto è “retta” l’arco più breve fra due punti ( che naturalmente è un arco di cerchio massimo).

Questa analisi verrà sempre condotta dal punto di vista delle creature che stanno su quella tal superficie, non dal nostro. Avendo questo in mente, vediamo un po’ qualche altro aspetto delle loro geometrie. Supponiamo che gli insetti abbiano imparato a tracciare linee che si intersecano ad angolo retto (provate un po’ a immaginare come potrebbero fare). A quel punto il primo, quello sul piano, scopre una cosa interessante: se parte dal punto A, traccia una linea lunga 10 centimetri, poi gira ad angolo retto, tira altri 10 centimetri, gira di nuovo ad angolo retto, stacca altri 10 centimetri, e poi per la terza volta gira ad angolo retto e segna ancora 10 centimetri, ritorna giusto al punto di partenza! E’ una proprietà del suo mondo, uno dei fatti della sua “geometria”. Poi scopre un’altra cosa interessante: se disegna un triangolo la somma degli angoli è uguale a 180°, cioè a due angoli retti. Dopodiché inventa il cerchio. Ma che cos’ è un cerchio? Si fa in questo modo: da un unico punto facciamo partire rette in tantissime direzioni e ci segniamo dei punti tutti alla stessa distanza da quello di partenza. (Dobbiamo stare ben attenti a come definiamo queste cose perché l’altro insetto deve essere in grado di costruire figure analoghe) . Naturalmente, tutto ciò equivale alla curva che si ottiene girando un righello intorno a un punto fisso . . . ma sia come sia, il nostro insetto impara a fare dei cerchi. Poi, un bel giorno, pensa di misurarne la lunghezza, e ne misura parecchi, e trova una bella relazione: questa lunghezza è sempre uguale al raggio r ( ovviamente, la distanza dal centro alla curva) moltiplicato per un certo numero. Tra circonferenza e raggio c’è sempre lo stesso rapporto (approssimativamente 6,283, cioè 2 volte π) indipendentemente dalle dimensioni del cerchio. Ora vediamo che cosa ha scoperto l’altro insetto riguardo alla “sua” geometria. Innanzitutto, che cosa succede all’insetto sulla sfera quando cerca di costruire un “quadrato”? Se segue le istruzioni che abbiamo dato sopra probabilmente concluderà che il gioco non vale la candela, visto che il risultato non sarà come quello che ha ottenuto l’insetto sul piano. Il suo punto terminale B non coincide con il punto di partenza A; non si ottiene affatto una figura chiusa (prendete una palla e fate la prova).

Sfera

E adesso supponiamo che ciascuno dei nostri insetti abbia il suo Euclide che ha spiegato come “dovrebbe” essere la geometria, e che loro abbiano fatto una verifica approssimativa con misurazioni (grossolane) su piccola scala. Disegnando quadrati più grandi, e con maggior precisione, si accorgerebbero che i conti non tornano. Il punto è che gli insetti riuscirebbero a stabilire cosa c’è che non va nel loro spazio con semplici misurazioni geometriche. Si definisce curvo uno spazio la cui geometria non sia quella che ci si può aspettare in un piano. La geometria degli insetti sulla sfera è la geometria di uno spazio curvo in cui le regole euclidee non funzionano più. E non è necessario uscire dal piano per scoprire che il mondo in cui si vive è curvo così come non è necessario circumnavigare il globo per scoprire che è una palla. Possiamo scoprire di vivere su una palla disegnando un quadrato: se è molto piccolo dovremo essere straordinariamente precisi, ma se è grande basta una misurazione più grossolana.

Prendiamo il caso di un triangolo su un piano : la somma dei suoi angoli è di 180°, ma il nostro amico sulla sfera può trovare dei triangoli veramente singolari, per esempio triangoli con tre angoli retti! Supponiamo che il nostro insetto parta dal polo nord e tracci una retta che scende fino all’equatore; poi gira ad angolo retto, traccia un’altra retta perfetta, della stessa lunghezza, poi fa di nuovo la stessa cosa e data la particolare lunghezza che ha scelto ritorna al punto esatto di partenza, dove incontrerà il suo primo lato di nuovo ad angolo retto. Dunque per lui quel triangolo ha, senza alcun dubbio , tre angoli retti; se li sommiamo, 270°. In effetti per lui la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180°, e inoltre l’eccedenza (che nel caso particolare che abbiamo mostrato è di 90°) è proporzionale all’ area del triangolo. Se un triangolo sferico è molto piccolo la somma dei suoi angoli è molto vicina a 180°, li supera di pochissimo; via via che il triangolo diventa più grande, la discrepanza aumenta.

Naturalmente vi sono anche altri tipi di geometria. Potremmo investigare la geometria di un insetto che vive su una pera, cioè su un oggetto che in certe parti ha una curvatura più accentuata e in altre ne ha una più debole, per cui l’eccedenza degli angoli di un triangolo è più seria quando l’insetto disegna dei triangolini in una parte del suo universo piuttosto che in un’altra. In altre parole, la curvatura di uno spazio può variare da punto a punto. Questa non è che una generalizzazione del concetto. Ma si può ottenere il risultato anche per via puramente geometrica, osservando la geometria bidimensionale della superficie di una sella. Supponiamo di avere una superficie a forma di sella e tracciamo su questa superficie un cerchio, definito come luogo di tutti i punti posti a uguale distanza dal centro; otterremo una figura che un po’ va in fuori e un po’ va in dentro, a mo’ di festone, la cui circonferenza quindi è più lunga di quello che ci si aspetterebbe. Quindi sfere, pere e simili sono tutte superfici a curvatura positiva, mentre le altre sono a curvatura negativa.
Un universo bidimensionale avrà in generale una curvatura che varia da punto a punto e può essere positiva in un luogo e negativa in un altro. In generale, per spazio curvo si intende semplicemente uno spazio in cui le regole della geometria euclidea cessano di valere, con deviazioni in un senso o nell’altro.

Anche l’entità della curvatura può variare da punto a punto. E da notare che, in base alla nostra definizione di curvatura, un cilindro non è curvo! Se un insetto abitasse su un cilindro scoprirebbe che triangoli, cerchi e quadrati si comportano tutti esattamente come su un piano. Per convincersene, basta pensare a come si trasformerebbero queste figure se il cilindro venisse srotolato su un piano: possiamo sempre far sì che esse corrispondano esattamente alle stesse figure tracciate sul piano. Perciò un insetto che viva sul cilindro (e che non faccia il giro completo, ma prenda solo misure locali) non ha modo di scoprire che il suo spazio è curvo. Da un punto di vista tecnico, quindi, questo non è uno spazio curvo. La cosa che ci interessa qui è la curvatura intrinseca, cioè la curvatura che può essere scoperta attraverso semplici misurazioni locali (per un cilindro è nulla) . Era questo che intendeva Einstein quando diceva che il nostro spazio è curvo. Ma per ora abbiamo definito solo uno spazio curvo a due dimensioni; dobbiamo andare avanti e scoprire cosa. può significare tutto questo in tre dimensioni.

Noi viviamo in uno spazio a tre dimensioni; ora vogliamo esaminare la possibilità che questo spazio sia curvo. Ma come si può immaginare che si in curvi in qualche direzione? Certo, la nostra immaginazione non arriva a tanto e forse non è un male, così non perdiamo l’aggancio con il mondo reale, ma possiamo sempre definire una curvatura tridimensionale an che senza uscire dal nostro mondo a tre dimensioni. Tutta la nostra discussione in due dimensioni non era in fondo che un esercizio, per mostrare che è · possibile definire una curvatura senza che per questo si debba essere in grado di “guardare” dal di fuori. Possiamo stabilire se il nostro universo è curvo con un sistema del tutto simile a quello usato da quei due signori che vivevano sulla sfera. Come? Non è difficile: si traccia un triangolo e si misurano gli angoli. Oppure si fa un cerchio grandissimo e si misurano circonferenza e raggio. O magari si cerca di disegnare con precisione un quadrato, o anche un cubo. Volta per volta, verifichiamo se le leggi della geometria funzionano e se non funzionano diciamo che il nostro spazio è curvo. Se tracciamo un triangolo di grandi dimensioni, e la somma dei suoi angoli supera i 180°, possiamo asserire che il nostro spazio è curvo; e così pure se in un cerchio la misura del raggio non è uguale alla circonferenza divisa per 2π.

Come si intuisce, in tre dimensioni la situazione può essere molto più complicata che in due . Con due dimensioni, in qualunque punto vi è un certo grado di curvatura; ma in tre dimensioni la curvatura può avere diverse componenti, e se disegniamo un triangolo su un certo piano il risultato può essere diverso da quello che si ottiene orientando quel piano in un altro modo. Ma forse vi è già venuta un ‘idea migliore : non potremmo liberarci di tutte queste componenti e usare, in tre dimensioni, una sfera? Possiamo ottenere una sfera prendendo tutti i punti che si trovano a uguale distanza da un dato punto nello spazio, dopo di che misuriamo l’area della superficie tracciando su di essa una quadrettatura molto fine e sommando tutte queste aree parziali. Stando a Euclide, l’area totale A dovrebbe essere 4π volte il quadrato del raggio; possiamo quindi definire un “raggio previsto“ dato da √(A/4πr). Ma possiamo anche misurare il raggio direttamente, scavando un pozzo fino al centro della sfera e misurando la distanza. Di nuovo, possiamo prendere la differenza fra raggio misurato e raggio previsto e chiamarla raggio in eccesso: in tal modo si ottiene una misura della curvatura che ha il vantaggio di non dipendere da come orientiamo un triangolo o un cerchio. Il rovescio della medaglia è che l’eccesso del raggio non caratterizza completamente lo spazio. Dà semplicemente quella che viene chiamata la curvatura media dell’universo in tre dimensioni, perché equivale a fare una media delle diverse curvature , ma non risolve del tutto il problema di definire la geometria, proprio perché è una media. La definizione completa della curvatura richiede in ogni punto sei “coefficienti di curvatura”.

Naturalmente i matematici sanno come scrivere questi coefficienti. E li potrete leggere in un trattato di matematica per esprimerli in forma matematicamente molto elegante. Per ora può essere utile ave re alme no una nozione approssimativa di ciò che si cerca di mettere in formule. Comunque, per la maggior parte dei nostri scopi la curvatura media è più che sufficiente. E ora veniamo alla domanda principale: ma è proprio così? Lo spazio fisico a tre dimensioni in cui viviamo è realmente curvo? Dato che abbiamo abbastanza immaginazione per rendere conto di questa possibilità, è naturale che la nostra mente si incuriosisca e voglia sapere se il nostro universo reale è curvo oppure no. Per cercare di scoprirlo sono state fatte misure geometriche dirette, ma senza risultato.

D’altra parte, ragionando sulla gravitazione, Einstein poté stabilire che l’universo è realmente curvo. Einstein dunque dice che lo spazio è curvo e che causa della curvatura è la materia. Supponiamo, per semplificare le cose, che la materia sia distribuita con continuità, an che se con densità vari abile quanto si vu ole da punto a punto. Ciò posto, la regola data da Einstein per la curvatura è la seguente: se in una regione dello spazio è presente della materia e prendiamo una sfera abbastanza piccola perché al suo interno la densità p di materia sia praticamente costante , l’eccesso del raggio di questa sfera è proporzionale alla sua massa. La legge sarebbe impossibile da ricavare, anche per Einstein, se la massa fosse concentrata in punti. Consideriamo ad esempio la Terra, dimenticando che la sua densità varia da punto a punto (così non dovremo calcolare integrali), e immaginiamo di misurare molto accuratamente la sua superficie e di trivellarla fino al centro, misurandone la profondità. Dall’area della superficie, posta uguale a 4πr², possiamo calcolare il raggio; a quel punto, confrontando il valore previsto con quello effettivo, viene fuori che il nostro pianeta ha un raggio di 1,5 millimetri più lungo di quanto dovrebbe essere, data l’area della sua superficie. Se poi facciamo lo stesso calcolo per il Sole, scopriamo che il suo raggio è troppo lungo di circa mezzo chilometro. È da notare che questa legge dice che la curvatura media, valutata su una piccola sfera al di sopra della superficie terrestre, è nulla; ma questo non significa che siano nulle tutte le sue componenti. Sopra la nostra Terra può  ugualmente esserci (anzi c’è) una certa curvatura; un cerchio in un piano avrà un eccesso del raggio positivo per alcune orientazioni, e negativo per altre. Si trova appunto che la media su una sfera è nulla quando non c ‘ è massa all’interno.

Quindi, nonostante la curvatura media al di sopra della Terra sia nulla, non tutte le sue componenti lo sono, e lo spazio è curvo . Ed è questa curvatura che interpretiamo come forza di gravità.

Rilevare le onde gravitazionali è stato un risultato molto importante. E’ un modo completamente nuovo di studiare l’Universo. Ogni volta che troviamo un nuovo modo di osservare l’Universo, scopriamo cose che non ci aspettavamo. Si tratta proprio di cercare cose nuove che non sapevamo esistessero, esaminando i confini estremi della nostra conoscenza della fisica e testando le nostre teorie su come funziona l’Universo.
I soliti anti-qualcosa diranno “sì, ma a che serve?”. Allo stato attuale a nulla. E’ una scoperta fondamentale ed epocale per la fisica teorica; in realtà però in tutti questi casi si sviluppano delle tecnologie e si usano degli strumenti nuovi che spesso e volentieri negli anni e nei decenni successivi hanno poi delle ricadute pratiche: per fare un esempio studiando la ricerca in fisica nucleare di base si è poi arrivati dopo decenni a costruire le macchine per risonanza magnetica che sono quelle che oggi usiamo per fare diagnostica sulla nostra salute e quindi con delle ricadute in campi anche molto diversi da quelli che normalmente riguardano la fisica.

E comunque, ancora una volta Einstein aveva ragione. E come ci diciamo spesso tra amici, siamo nani sulle spalle dei giganti.

 

 

 

https://doctorcinnamon.com/2016/02/01/gravitational-waves
Richard P. Feynman, Sei pezzi meno facili, Piccola Biblioteca Adelphi, 2004

7 pensieri su “Giganti e nani

  1. Capisco fino ad un certo punto.
    In pratica: la formula matematica per calcolare il raggio del sole ha una discrepanza con la misurazione effettiva.
    Quella effettiva dà un risultato più lungo, quindi c’è una curvatura spaziale verso l’esterno del sole (del corpo dotato di massa non nulla).
    Esatto?

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    • Ho omesso formule e calcoli, ma il concetto è che sono complicatissimi. La nozione di spazio a curvatura positiva, negativa o nulla, funziona solo per spazi geometrici che si chiamano “omogenei” in virtù del fatto che le proprietà metriche sono invarianti al variare del posto e ruotando attorno ad ogni posto. La presenza di una sorgente di curvatura (di gravità) rompe l’omogeneità dello spazio e non si ricade più in nella classe degli spazi tridimensionali omogenei. Quindi si ha sempre uno spazio NON euclideo, ma non è sufficiente la classificazione degli spazi omogenei per catalogarlo, ci vuole una classificazione più fine dovuta alla geometria differenziale riemanniana. Cosa indigesta anche a me, che matematico non sono… La curvatura dello spazio coinvolge anche il tempo, proprio grazie alle intuizioni di Einstein e Minkowski, Se vuoi approfondire e impazzire un pò anche tu, ti consiglio “Wheeler, Gravità e spazio-tempo, Zanichelli” o “Schwinger, L’eredità di Einstein, Zanichelli”.

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        • Non ti sottovalutare. Io stesso sono una capra eppure mi appassiono. Quando a Feynman obiettavano che uno scienziato ha una visione troppo poco “estetica” della natura rispondeva che invece è esattamente il contrario. Oltre alla bellezza visiva di una rosa si possono apprezzare anche altri aspetti, come il perché la vediamo così, come il suo odore ci travolge e via andando. Dipende sempre da come ci si pone di fronte alle cose. Tu mi sembra che abbia la giusta dose di curiosità per ampliare i tuoi orizzonti… 😉

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          • Il fatto è che io adoro la matematica, e la capisco molto bene.
            Ma – molto stranamente – di fisica e di formule ci capisco davvero poco.
            Certamente ho la curiosità dalla mia parte, ma preferisco leggere un libro su Riemann e le sue ipotesi sui numeri primi con i punti ‘zero’ tridimensionali, piuttosto che perdermi su formule di gravitazione universale.
            Comunque vedo che abbiamo affinità nel podo di porgersi a livello scientifico, anche se tu sei molto più bravo nell’aspetto divulgativo.
            Ciao e buona giornata.

            K!

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