Attrazione fatale

Come ormai alcuni dei miei affezionati lettori (due o tre, non crediate…) sanno, sono appassionato di fumetti, soprattutto di quelli “Marvel” e “DC Comics”. Ho già parlato di “The Flash” e una volta ricordo di averne anche indossato il costume (un carnevale o giù di lì, ricordo parzialmente rimosso, grazie a Dio). Nell’ultima puntata del telefilm di Flash, il ragazzo perde temporaneamente i poteri e per resistere alla potenza di un pugno sovrumano, il suo fidato Cisco Ramon inventa una tuta con un rinforzo speciale, sintetizzato da un frammento di stella nana. La stella nana è una stella molto densa, tanto che può avere la massa del nostro Sole compressa alle dimensioni della Terra. Ma questo che vuol dire? E che cos’è la densità? In questa parte della trattazione proverò a spiegarlo, perché capire cos’è la densità è un altro passo verso la comprensione dei buchi neri; parlerò prima però della quarta forza, la gravitazione.

Abbiamo parlato in “Che forza!”, degli atomi, delle molecole e delle interazioni tra le particelle. Parlerò ora dell’interazione gravitazionale ovvero della gravitazione. Tutte le particelle fondamentali sono influenzate da essa ed influenzano le altre particelle poiché la gravitazione è legata alla massa. Vediamo in tabella 1 una comparazione di quanto visto finora aggiungendovi la gravitazione.

 

Particella

Elettrone

Neutrone

Protone

Forza nucleare No
Forza elettromagnetica No
Forza debole No No
Forza gravitazionale

Tabella 1

Avevamo detto che la gravitazione è di gran lunga la più debole delle quattro, non sto qui a darvi dimostrazione matematica ma vi assicuro che è così. Anzi, visto che ormai vi fidate di quello che affermo, dico anche che la forza elettromagnetica è 2.300.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 volte più forte della forza gravitazionale (e la difficoltà che avete avuto nel leggere il numero da me scritto sopra vi dovrebbe far capire perché vengono usati i numeri esponenziali, meglio 2,3×1039 immagino…). Per avere un’idea di quanto enorme sia questa differenza in intensità, supponiamo di considerare la gravitazione rappresentata da una massa di un grammo. Con che massa potremmo rappresentare la forza elettromagnetica? Con una massa equivalente a 1 milione di corpi con la massa del nostro sole! Oppure, si supponga che l’intensità dell’accelerazione gravitazionale sia simboleggiata da una distanza pari alla larghezza di un atomo. L’intensità elettromagnetica dovrebbe essere rappresentata, in questo caso, da una distanza di mille volte la larghezza dell’intero universo conosciuto! La gravitazione, quindi, è di gran lunga la più debole delle quattro forze. Non c’è da meravigliarsi, quindi, che i fisici, quando studiano il comportamento delle particelle subatomiche, prendano in considerazione la forza nucleare forte, l’elettromagnetica  e la forza nucleare debole ma ignorino totalmente la gravitazione. Anche in chimica viene bellamente ignorata.

Perché per noi però è così importante? Semplicemente perché, come abbiamo visto in tabella, la gravitazione è l’unica tra le quattro che abbia effetto su tutte le particelle fondamentali. E anche se debole, esiste: ce ne rendiamo conto ogni qualvolta cadiamo. Non mi dilungherò in esempi pratici, per ovvi motivi, ma cadere da una finestra il più delle volte uccide. La cosa che rende la gravitazione così importante sono le caratteristiche che la differenziano dalle altre forze: intanto, il raggio d’azione, che nel caso delle due forze nucleari è confinato all’interno dell’atomo, mentre per la forza elettromagnetica e gravitazionale è in pratica infinito; l’interazione, che per la gravitazione è su tutte e tre le particelle che compongono la materia; ultima, ma non meno importante, il fatto che la gravità attrae. Ci sono due tipi opposti di carica elettrica e, per quanto sappiamo, solo uno tipo di massa. Quindi possiamo ragionevolmente supporre che le cariche positive e negative presenti nell’Universo, tranne qualche piccolo squilibrio locale, si annullino tra loro. Mentre la gravità è solo attrazione e non si ha nessuna notizia di repulsione gravitazionale (tranne nel caso del fachiro di Porta di San Lorenzo, ma quella è un’altra storia…).

Prima di parlare dell’importanza della gravitazione nella nostra trattazione, farò una digressione per parlare di densità.

Intuitivamente noi sappiamo che se mettiamo una bottiglia di acqua in freezer e ce la scordiamo lì, la mattina successiva troviamo la bottiglia rotta, perché nel passaggio da liquido a solido evidentemente è successo qualcosa. L’acqua, poiché nel processo di solidificazione aumenta di volume (1 grammo di ghiaccio occupa un volume maggiore del 10% circa rispetto alla stessa massa di acqua), preme sulle pareti della bottiglia fino a romperla. La quantità di massa in un dato volume è detta densità; praticamente quando la materia si espande, la sua densità diminuisce, e quando si contrae, la sua densità aumenta. Un centimetro cubico di acqua ha una massa di un grammo; questo significa che possiamo dire che l’acqua ha una densità di 1 grammo per centimetro cubo o, in forma abbreviata, 1 g/cm3. I cambiamenti nella densità non sono solo una questione di espansione o contrazione. Diverse sostanze hanno densità differenti a causa della natura stessa della loro struttura. I gas hanno densità molto inferiore a quella dei liquidi, perché i gas sono costituiti da atomi separati o molecole con poca attrazione tra loro. Mentre le molecole liquide sono in contatto virtuale, gli atomi o le molecole di gas muovono rapidamente, rimbalzando una contro l’altra e rimanendo in questo modo distanti tra loro. La maggior parte del volume di un gas è costituito da spazio vuoto tra atomi o molecole. Ad esempio, un campione del gas idrogeno preparato sulla terra a temperature e pressioni ordinarie ha una densità di circa 0,00009 (o 9×10-5) g/cm3 (quindi 11 mila volte circa meno denso dell’acqua). La densità dell’idrogeno è più bassa nello spazio esterno, per esempio, dove c’è molto più spazio; infatti lì troviamo solo un atomo di idrogeno ogni centimetro cubo. Ogni gas ha la propria densità, dipende sempre dagli atomi e dalle molecole che li compongono e dallo spazio che c’è tra loro: noi sappiamo (fidatevi, anche perché le leggi sul gas sono tra le più complicate che esistano) che la densità è proporzionale alla massa. Quindi se di due gas, uno è composto da molecole con tre volte la massa dell’altro, anche la densità sarà tripla.

Ad esempio, l’esafluoruro di zolfo (SF6) è un gas con una densità di 1.329 g/cm3, quasi quindici milioni di volte più denso dell’idrogeno e, quindi, notevolmente superiore alla densità dell’aria (quasi un milione di volte) o dell’acqua. Qualsiasi gas, anche l’esafluoruro di zolfo, è per lo più spazio vuoto. Se tale gas viene compresso, se, per esempio, viene messo in un contenitore ermetico le cui pareti sono poi ravvicinate sempre più, le molecole del gas vengono spinte sempre più vicine una all’altra e la densità aumenta. Lo stesso effetto è prodotto in modo ancora più efficiente se si abbassa la temperatura. Le molecole del gas si avvicinano ancora di più e ad una certa temperatura il gas diventa un liquido, stato in cui le molecole sono in contatto virtuale. Se l’idrogeno viene raffreddato a temperature molto basse, non solo si liquefa, ma a 14 gradi sopra lo zero assoluto, si blocca. Le molecole non sono solo in contatto, ma rimangono più o meno fisse in luogo, così che la sostanza diventa un solido. L’idrogeno solido è il solido meno denso che esista, con una densità di 0,09 g/cm3. In generale un solido costituito da atomi più massicci è solitamente più denso di uno costituito da atomi meno massicci.

Solitamente, dicevo. Ma non sempre. Vediamo se la densità è in qualche modo influenzata dai pesi atomici; il peso atomico di un elemento esprime il rapporto tra la massa dell’elemento stesso e la massa di un elemento scelto come riferimento. Per tutti gli elementi è stato scelto il carbonio, in particolare 1/12 della massa del carbonio, chiamato anche unità di massa molecolare.  L’atomo di idrogeno ha peso atomico 1; l’alluminio e il ferro, ad esempio, 27 e 56. Ciò vuol dire che l’atomo di ferro ha una massa quasi doppia rispetto all’alluminio e 56 volte quella dell’idrogeno. La densità del ferro, però, è di circa 7,85 g/cm3, mentre quella dell’alluminio è di circa 2,7 g/cm3. Il ferro è quindi tre volte più denso dell’alluminio. Il motivo per cui, pur pesando due volte, sia denso tre volte, dipende da altri fattori. Ad esempio, dalla disposizione degli atomi. Il Cesio, peso atomico 132,91, ha una densità di soli 1,873 g/cm3, poiché i suoi elettroni occupano molto spazio. Il rame, con il peso atomico di circa la metà (63,54) ha una densità quasi cinque volte superiore (8,95 g/cm3) al Cesio. In Tabella 2 un esempio di alcuni elementi ad alta densità.

 

Elemento

Peso Atomico

Densità (g/cm3)

Uranio 238,07 18,68
Oro 197,0 19,32
Platino 195,09 21,37
Iridio 192,2 22,42
Osmio 190,2 22,48

Tabella 2

L’Osmio detiene il record: un lingotto di Osmio della grandezza di una banconota da 20 Euro e dallo spessore di un centimetro peserebbe quasi due chili e mezzo!

Ora parlerò brevemente della composizione dei pianeti e delle stelle, e di come la gravitazione abbia un aspetto fondamentale in tutto ciò. Ovviamente quella a cui faccio riferimento è la fisica newtoniana, cioè quella classica, perché Einstein, nella sua “Relatività Generale”, trattò la gravitazione in modo diverso. Infatti il fisico tedesco interpretava gli effetti della gravitazione come dovuti alla variazione delle proprietà geometriche dello spazio, mentre per Newton la gravità era una proprietà fondamentale e caratteristica (insieme con l’inerzia) di tutta la materia consistente nel fatto che fra due corpi materiali si esercita sempre una mutua attrazione, direttamente proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Anche se in antitesi, le due teorie porterebbero allo stesso risultato, quindi, per evitare trattazioni troppo complesse, parlerò in termini semplici affrontando l’argomento in maniera classica. Così inizieremo a capire come vanno collegate le nozioni apprese fin qui.

Per capire come si forma e che cos’è un buco nero, vediamo se in qualche modo può esserci utile la gravitazione. Una delle prime cose che si fecero una volta scoperta la gravità, fu misurare la massa della Terra. Infatti Newton aveva determinato che l’intensità del campo gravitazionale prodotto da qualunque oggetto era proporzionale alla sua massa; la massa, a sua volta può essere definita come proprietà della materia che produce campo gravitazionale. Ma la volta scorsa avevamo detto che la massa era quella proprietà della materia che rende necessario l’uso di una forza di qualche tipo per produrre un cambiamento nello stato di moto, sia esso velocità o direzione. I più attenti avranno notato che quella definizione aveva una parolina tra parentesi, cioè inerziale. Infatti, esistono due tipi di massa: quella gravitazionale e quella inerziale, che, anche se a prima vista possono sembrare diverse, si comportano allo stesso modo. Anzi, possiamo affermare che sono equivalenti.

Così, il campo gravitazionale terrestre esercita una forza su un corpo che cade in modo che questo subisca un cambiamento di moto, detta accelerazione, e cada sempre più velocemente. Poiché la massa inerziale e massa gravitazionale sono equivalenti, possiamo supporre che l’aumento del tasso di velocità con cui un oggetto cade possa essere utilizzato per misurare l’intensità della gravitazione terrestre. Questa accelerazione è stata misurata nel 1590 dallo scienziato italiano Galileo Galilei (1564-1642). Essa è uguale a 980 centimetri al secondo per secondo. Ciò significa che ogni secondo un corpo che cade si muove 980 centimetri al secondo più veloce di quanto facesse un secondo prima. Grazie a questa misurazione e all’equazione di Newton

0f36df929ac9d711a8ba8c5658c3bfee

dove:

  • F è l’intensità della forza tra le masse;
  • G è la costante di gravitazione universale;
  • m1 è la prima massa;
  • m2 è la seconda massa;
  • r è la distanza tra i centri delle masse;

possiamo ricavare altri dati. Praticamente Newton ci informa che se volete attrarre Belen dovete metter su un bel po’ di chili e farvi trovare nei paraggi al momento giusto. Il problema però è nella G, una costante che nessuno a quei tempi conosceva, perché veramente minuscola (ed ecco quindi perché Belen non vi degna di uno sguardo).

La prima misura della costante di gravitazione universale fu dedotta nel 1798 da un esperimento condotto dal chimico e fisico scozzese Henry Cavendish (1731 – 1810), atto a misurare la densità media della Terra, usando una bilancia di torsione. Cavendish attaccò una sfera di massa nota a ciascuna estremità di una lunga asta e sospese a un sottile filo questa sorta di strano manubrio da ginnastica. Poi pose una palla più grande, sempre di massa nota, in prossimità di ciascuna delle sfere attaccate alle estremità dell’asta, da parti opposte, in modo che l’attrazione gravitazionale agente tra le palle grandi fisse e quelle piccole sospese facesse ruotare l’asta, appesa in posizione orizzontale, causando una torsione del filo di sospensione. Il manubrio subì effettivamente una piccola rotazione. Ora Cavendish misurò quale forza fosse necessaria per provocare quella data torsione del filo, ricavando così il valore di F. Egli già conosceva m1 ed m2, le masse delle sfere, e r, la distanza fra esse; poté quindi calcolare il valore di G. Una volta ottenuto tale valore, fu in grado di calcolare la massa della terra, perché è facile misurare l’attrazione gravitazionale esercitata dalla terra su di un corpo qualsiasi dato, grazie a Galileo. Fu così che Cavendish per la prima volta “pesò” la terra.

Da quel tempo le misurazioni sono state grandemente perfezionate. Nel 1928, il fisico americano Paul R. Heyl del Bureau of Standards degli Stati Uniti stabilì che il valore di G è di 0,00000006673 dine per centimetro quadrato diviso grammo al quadrato, valore che fu poi ulteriormente precisato e fissato pari a 0,000000066726 (nei paesi anglosassoni si usa un sistema metrico diverso rispetto al resto del mondo, ahimè. Il valore che conosciamo noi europei è 6,67 × 10−11 N m² / kg²)  . Non sono tanto importanti le unità di misura, ma l’esiguità del valore numerico. Esso dà un’idea precisa della modesta intensità della forza gravitazionale. Due pesi da un chilogrammo posti alla distanza di un metro si attraggono tra loro con una “forza peso” di pochi miliardesimi di grammo. Il fatto che la terra attragga questo stesso peso con una “forza peso” di un chilogrammo anche a una distanza di circa 6370 chilometri dal suo centro fa capire quanto grande debba essere la massa della terra. In effetti essa risulta pari a 5 976 000 000 000 000 000 000 000 chilogrammi vale a dire 5.976 miliardi di miliardi di tonnellate! Conoscendo la massa e il volume della terra è facile calcolarne la densità media. Essa risulta pari a 5,518 grammi per centimetro cubo (cioè 5,518 volte la densità dell’acqua). La densità media delle rocce superficiali della terra è di soli 2,8 grammi per centimetro cubo; pertanto la densità all’interno deve essere molto maggiore.

L’importanza della determinazione della massa della Terra non era fine a se stessa, poiché permise agli astronomi di determinare la massa di un gran numero di altri oggetti nell’universo. Piccola digressione, che uso per non addentrarmi troppo in spiegazioni matematicamente complesse.  In fisica, in particolare in meccanica classica, il centro di massa o baricentro di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del sistema nello spazio. Nel caso particolare di un corpo rigido, il baricentro ha una posizione fissa rispetto al sistema. Il baricentro, tuttavia, è definito per un qualunque sistema di corpi massivi, indipendentemente dalle forze (interne o esterne) che agiscono sui corpi; in generale, il baricentro può non coincidere con la posizione di alcuno dei punti materiali che costituiscono il sistema fisico. Che in soldoni vuol dire che il centro del campo di forza gravitazionale può essere esterno (o non coincidere con il centro) ai corpi soggetti al campo stesso.

Prendiamo la Luna, per esempio, il satellite della Terra; il punto della sua orbita più vicino alla Terra, detto perigeo, è a 356.000 Km da questa e quello più lontano, chiamato apogeo, è a circa 407.000 Km e ci gira intorno in 27 giorni, 7ore, 43 minuti e 12 secondi. La posizione del centro di gravità del sistema Terra – Luna può essere determinato, e risulta essere situato circa 1700 chilometri sotto la superficie terrestre e a circa 4670 km dal centro della Terra; per questo motivo il moto di rivoluzione della Luna si può considerare poco diverso da quello registrabile se essa girasse realmente intorno al centro della Terra. In pratica, il centro di gravità è 81,3 volte più lontano dal centro della Luna rispetto al centro della Terra. La massa della Luna è quindi 1/81,3 volte quello terrestre (meglio esprimerlo così, come frazione della massa terrestre).

Anche per misurare le masse degli altri pianeti sono stati fatti molti calcoli e io ve li riassumo in tabella 3.

 

Pianeta

Massa (Kg)

Densità (× 103 kg/m3)

Densità (Terra=1)

Mercurio 3,33 · 1023 5,43 0,985
Venere 4,8690 · 1024 5,243 0,95
Terra 5,97219 · 1024 5,513 1
Luna 7,342 × 1022 3,3462 0,607
Marte 6,4191 · 1023 3,940 0,715
Giove 1,8987 · 1027 1,33 0,241
Saturno 5,6851 · 1026 0,70 0,127
Urano 8,6849 · 1025 1,30 0,236
Nettuno 1,0244 · 1026 1,76 0,32

Tabella 3

L’intensità del campo gravitazionale di ognuno di questi corpi è proporzionale alla loro massa, e come si può vedere, la Terra non ha in alcun modo la massima intensità gravitazionale o la massa più grande tra i pianeti del sistema solare. Ci sono quattro pianeti più massicci rispetto alla Terra: Giove, Saturno, Urano e Nettuno. Giove è il gigante del sistema planetario; è circa 2,5 volte più massiccio degli altri otto pianeti messi insieme. L’intensità del campo gravitazionale di ogni pianeta (o di qualsiasi oggetto) diminuisce con il quadrato della distanza, il che significa che l’intensità relativa del campo gravitazionale di due corpi di massa diversa rimane la stessa a qualsiasi distanza. Per esempio, una nave spaziale ad un milione di chilometri da Giove sentirebbe l’attrazione gravitazionale di Giove 318 volte di più di quanto sentirebbe l’attrazione della Terra a un milione di chilometri da essa. Questo accade per qualsiasi punto. Se l’astronave passa a due milioni di chilometri, le intensità dei campi gravitazionali diminuiscono ma entrambi ed in proporzione e il rapporto rimane di circa 318.

C’è un caso che dobbiamo però studiare per poter andare avanti. Parlavo di un’astronave e di distanze. Ma se una persona è sulla superficie di un pianeta e poi va sulla superficie di un altro, il discorso della proporzionalità vale lo stesso? Abbiamo in questo un aiuto. Pare (i complottisti dicono di no, ovviamente) che l’uomo sia andato sulla Luna. A questo punto vediamo se il rapporto tra le due attrazioni gravitazionali rimane 81,3 (ricordate?) oppure cambia.

La massa della Terra è 81,3 volte quella della Luna e per le posizioni a distanze uguali dal centro di ciascun corpo l’intensità del campo gravitazionale della Terra è sempre 81,3 volte quella della Luna (come l’esempio dell’astronave di prima). Supponiamo di trovarci sulla superficie della Luna, però. Siamo a 1.738 chilometri dal centro della Luna. Se ci troviamo sulla superficie della Terra, siamo a 6.371 chilometri dal centro della Terra. L’intensità gravitazionale sulla superficie di un corpo è la sua gravità superficiale (un concetto importante per comprendere i buchi neri), e nel calcolo si deve tener conto delle differenze di distanza dal centro. La distanza della superficie terrestre dal centro della Terra è 3,666 volte la distanza della superficie della Luna dal centro della Luna. L’intensità gravitazionale diminuisce con il quadrato della distanza, quindi la gravità della superficie terrestre diminuisce rispetto alla gravità superficiale della Luna di un fattore pari a 3,666 x 3,666 (fa 13,44, vi aiuto). Dobbiamo quindi dividere l’intensità gravitazionale della Terra rispetto al Luna, cioè 81,3 per 13,44, e otteniamo 6,05. Quindi, anche se la Terra ha una massa 81,3 volte quella della Luna, la sua gravità superficiale è solo 6,05 volte quella della Luna. Per dirla in altro modo, la gravità superficiale della Luna è circa un sesto di quella della Terra. In modo simile si può calcolare la gravità superficiale di tutti i pianeti del sistema Solare. Con i giganti gassosi è difficile definire una superficie a causa del fatto che è nascosta sotto spesse coltri di gas, ma consideriamo per loro come se la superficie fosse il bordo esterno delle loro atmosfere. In tabella 4 un utile riepilogo prendendo la Terra come unità.

 

Pianeta

Gravità superficiale

Mercurio 0,37
Venere 0,88
Terra 1,00
Luna 0,165
Marte 0,38
Giove 2,64
Saturno 1,15
Urano 1,17
Nettuno 1,18

Tabella 4

Notiamo subito una cosa. Giove, nonostante abbia una massa 318 volte quella terrestre, ha una gravità alla superficie solo 2,64 maggiore della nostra. La prossima volta vedremo se questo ci può aiutare nella comprensione dei buchi neri.

 

 

 

 

Fonte: Il collasso dell’Universo, Isaac Asimov, Mondadori 1986

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