Fuga per la vittoria

Da piccoli non si fa nessuna fatica a credere che Babbo Natale o Superman possano realmente volare (anche qualche adulto lo crede, per quel che ne so). Mio figlio quattrenne ha una passione per gli Avengers, in particolare per Iron Man. Iron Man, il cui vero nome è Anthony Edward “Tony” Stark, è un personaggio dei fumetti creato da Stan Lee, Larry Lieber e Don Heck, pubblicato dalla Marvel Comics. Indossa una potente armatura esoscheletrica che gli conferisce forza e velocità sovrumane, una resistenza allo strenuo dell’invulnerabilità e la capacità di volare raggiungendo velocità fino a Mach-8. Il numero di Mach è il rapporto tra la velocità di un oggetto in moto in un fluido e la velocità del suono nel fluido considerato: Mach-8 corrisponde quindi a circa 9878,4 Km/h. Ovviamente mio figlio mi tempesta di domande su Iron Man e, essendo io la sua fonte primaria d’informazioni, non posso esimermi dal rispondere. A volte però, rispondo solo per non dargli un dispiacere e alla sua ultima domanda: “Iron Man può andare nello spazio?” ho intuitivamente risposto “Certo!”, senza aver neanche fatto un calcolo.

Ancora calcoli? direte voi. Prima di capire quali sono i calcoli da fare (che comunque qui non ci saranno, tranquilli), dobbiamo introdurre un altro concetto sulla strada che porta ai buchi neri. Dopo aver parlato di particelle, atomi, forze e densità, nell’ultimo articolo, “Attrazione fatale”, ho parlato di gravità superficiale, concetto importantissimo per quello che sto per trattare qui, cioè la velocità di fuga.

Sappiamo, non solo per sentito dire, che qualunque oggetto da noi scagliato in aria ha un unico, ineluttabile destino: cadere in terra. “Quel che sale deve scendere”, diceva Isaac Newton, proprio lui, perché sapeva che qualsiasi oggetto scagliato in aria è sotto il tiro costante della gravitazione terrestre. Anzi, possiamo dire che la fisica moderna nasca proprio da Galileo Galilei e dalla sua scoperta dell’accelerazione di gravità (ricordate? 9,81 m/s2). Lo scienziato pisano mostrò che i corpi materiali cadono, nel vuoto (ipotizzando nullo quindi qualunque effetto di attrito), tutti con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa; questo fenomeno è conseguenza diretta dell’equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale. Nella pratica reale, invece, la resistenza dell’aria modifica il moto e bisogna tenerne conto, specialmente nel caso della caduta di un oggetto leggero, come per esempio una piuma. In una dimostrazione scientifica popolare per secoli, si facevano cadere simultaneamente una piuma e una moneta in un tubo da cui era stata tolta l’aria: si vedevano i due oggetti cadere alla stessa velocità. Una tale dimostrazione fu anche ripetuta sulla superficie lunare da David Scott, uno degli astronauti della missione Apollo. Non solo sulla Luna non c’è atmosfera, ma la sua gravità è diverse volte minore di quella terrestre, rendendo la caduta più lenta e quindi più facile da osservare. Davanti a una telecamera, l’astronauta lasciò cadere contemporaneamente un martello e una piuma, e tutti gli spettatori sulla Terra, guardando sullo schermo televisivo, videro i due oggetti cadere insieme. In realtà, Scott tentò prima l’esperimento fuori dal campo visivo della telecamera, per essere sicuro che tutto andasse bene ma non funzionò, perché l’elettricità statica aveva fatto aderire la piuma al guanto della tuta spaziale. Mentre stava ancora cercando di risolvere il problema, a Scott fu chiesto di guardare verso la telecamera, e questa volta l’esperimento funzionò perfettamente (il bello della diretta!).

Ora supponiamo di lanciare un oggetto verso l’alto; a un certo punto esso decelererà fino ad arrestarsi e tornerà giù (come dicevamo prima). Esiste una velocità alla quale l’oggetto scagliato verso l’alto vincerà l’attrazione gravitazionale e non cadrà più giù? Vediamo se solo con il ragionamento e qualche numero ci arriviamo da soli.

Se noi scagliamo due oggetti a due velocità differenti, supponiamo una il doppio dell’altra, secondo quello che sappiamo possiamo affermare che quello più veloce andrà più in alto di quello meno veloce. Sì, ma di quanto? Quale sarà cioè la proporzione tra le velocità iniziali e l’altezza raggiunta? A prescindere dalla velocità, se noi immaginiamo un oggetto a una certa altezza dal suolo, sappiamo che subirà l’attrazione gravitazionale della Terra. Si supponga di salire nel bel mezzo della stratosfera, a circa 42 chilometri sopra la superficie terrestre. Per una questione di percezione pensiamo che siano pochi, d’altra parte è la lunghezza di una maratona (per me il discorso vale anche in orizzontale, non pratico sport dall’89)… Ma se mettiamo 42 km in verticale questa diventa un grande altezza dal nostro punto di vista (nel senso che l’Everest, cima più alta del mondo, è l’8% di 42km…); la distanza dal centro della terra passa però solo da 6.371 chilometri a 6.413 chilometri. Che non è un gran cambiamento; l’intensità gravitazionale a quest’altezza è ancora il 98,9% che sulla superficie. Un essere umano che pesi 70 kg sulla superficie peserebbe circa 69,23 kg nella stratosfera. Nella vita ordinaria, per questo, non siamo coscienti di qualsiasi cambiamento significativo legato alla variazione di altezza e alla gravità, escluso quando andiamo a pattinare e cadiamo sonoramente e dolorosamente sulla pista di pattinaggio.

Quindi 42 km sono pochi. Proviamo ad alzare la posta. Se io sono a 6.371 km sopra la superficie terrestre, sarò a 12.742 (6.371+6.371) km dal centro della Terra. Raddoppiando la distanza dal centro e sapendo che la gravità diminuisce con il quadrato della distanza, a 12.742 km la gravità sarà ¼ (un quarto) di quella sulla superficie. Tornando al nostro oggetto scagliato verso l’alto, man mano che esso salirà, capiamo che incontrerà sempre meno resistenza a causa di una gravità via via minore. E quindi ogni oggetto scagliato con velocità doppia o tripla rispetto al precedente, subirà meno gli effetti della gravitazione e di conseguenza andrà più in alto del doppio e del triplo. Proviamo a fare una tabella del risultato fin qui raggiunto.

Velocità iniziale (km/sec) Altezza raggiunta (km)

1,6

130
3,2 560
4,8 1.450
6,4 3.100
8,0 6.700
9,6 17.900

Tabella 1 (originariamente in miglia)

Arriverà un punto in cui la velocità iniziale è così elevata che la gravità non riesce più a portare indietro l’oggetto. Questa velocità si chiama “velocità di fuga”. La velocità di fuga dalla superficie terrestre è di 11,23 chilometri al secondo. Ed Iron Man può tranquillamente andare nello spazio e soprattutto non ho detto una bugia a mio figlio! Vi confesso che non mi serviva fare calcoli, perché Iron Man non sfrutta solo la velocità iniziale come farebbe un proiettile sparato da un cannone, ma ha dei veri e propri razzi e poi ricordo che nel numero 142 del 1981 modificava l’armatura proprio per andare nello spazio (ok, ho imbrogliato, non solo con mio figlio, facendo finta di pensarci, ma anche con voi, facendo finta di non saperlo…)

Sulla superficie della Terra, dicevo, la velocità di fuga è pari a circa 11,23 km/s, mentre a 9000 km dalla superficie è leggermente inferiore a 7,1 km/s: è possibile ottenere tale velocità con un’accelerazione continua dalla superficie fino a quell’altezza, oltre la quale l’oggetto si potrà allontanare indefinitamente dalla Terra anche senza propulsione. È più o meno il sistema che usano i razzi per portare fuori dall’atmosfera gli astronauti con le loro navicelle, in modo da non dover imprimere una brusca e dolorosa accelerazione alla partenza. La velocità di fuga ovviamente varia di pianeta in pianeta. Un pianeta meno massiccio della terra avrà una gravità superficiale inferiore e quindi una minor velocità di fuga. In Tabella 2 le velocità di fuga dei principali oggetti del Sistema Solare

Velocità di fuga in km/s
Mercurio 4,435
Venere 10,4
Terra 11,2
Marte 5,04
Giove 59,5
Saturno 35,6
Urano 21,3
Nettuno 23,3
Luna 2,38
Cerere 0,51
Plutone 1,20
Eris 2,70

Tabella 2

Non sorprende che il pianeta gigante del sistema solare, Giove, abbia la velocità di fuga più alta. Ovviamente, essendo più voluminoso della Terra, ha un campo gravitazionale che diminuisce più lentamente rispetto alla Terra. Quel che sorprende non è questo, ma il fatto che tutto sommato dovrebbe essere molto più forte. Dopotutto Giove è 318 volte più massiccio della Terra e il suo campo gravitazionale lo è in proporzione; ma la gravità superficiale (sempre assumendo come superficie il limite dell’atmosfera, essendo Giove un gigante gassoso) è poco meno di 3 volte quello della Terra e la velocità di fuga poco meno di 6 volte superiore a quella del nostro pianeta. Lo stesso vale per gli altri giganti gassosi, Saturno, Urano e Nettuno.

Una delle motivazioni di questa “debolezza” è sicuramente il fatto che la superficie dei quattro pianeti (o meglio, quella che noi consideriamo come tale) è da quattro a undici volte più lontana dal centro del pianeta rispetto alla distanza della superficie della Terra dal proprio centro. Un’altra spiegazione è legata alla densità. I pianeti gassosi hanno una bassa densità, il che significa che la materia che li compone non è compattata ma si estende con un volume immenso. Se, per esempio, potessimo comprimere Saturno fino a fargli raggiungere la densità della Terra, il suo volume sarebbe circa 1/8 di quello che possiede ora e il suo raggio sarebbe la metà (30.000 km). Saturno conserverebbe tutta la sua massa e l’intensità del suo campo gravitazionale sarebbe ancora 95,2 volte quello della Terra. Nel caso di compressione di Saturno alla densità terrestre, la gravità superficiale non sarebbe più 1,5 volte quella terrestre ma 4,60. Proviamo ora a immaginare Giove compresso ad avere la densità media della Terra. Il suo volume sarebbe solo un quarto dell’originario e il suo raggio 5/8: 44.200 km invece di 71.400. Mantenendo la massa e con la superficie molto più vicina al centro, la gravità di superficie salirebbe a sette volte quella terrestre invece delle cinque attuali.

C’è un altro modo per aumentare l’intensità gravitazionale? Intanto capiamo che accadrebbe se scavassimo un buco fino al centro della Terra: la gravità aumenterebbe o no? Avvicinandoci al centro della Terra la forza con cui la Terra stessa attrae diminuirebbe, infatti risentiremmo di un’attrazione che non dipenderebbe più da tutta la massa della Terra ma solo dalla massa sferica che si troverebbe sotto di noi; la porzione di massa sopra di noi non eserciterebbe nessuna forza di attrazione netta. E il nostro peso diminuirebbe sempre più fino a diventare zero al centro della Terra! Un essere all’interno di una Terra cava non riceverebbe una spinta gravitazionale verso la superficie: la teoria della gravitazione prevede che una persona all’interno della sfera sarebbe praticamente senza peso. Questo fatto fu dimostrato per la prima volta da Newton, il cui teorema del guscio sferico prevede che la forza gravitazionale sia pari a zero ovunque all’interno di un guscio solido sfericamente simmetrico, indipendentemente dallo spessore del guscio. Una debole forza gravitazionale deriverebbe dalla non perfetta sfericità della Terra, e dalla forza di marea, dovuta alla Luna. Anche la forza centrifuga contribuirebbe alla formazione di una gravità, che tuttavia all’equatore sarebbe pari a solo un trecentesimo della gravità normale. La teoria risulta fallace anche per il fatto che una terra prevalentemente cava avrebbe una massa molto inferiore a quella sperimentalmente osservata. Inoltre una Terra cava collasserebbe sotto il suo stesso peso, sbriciolandosi e creando una seconda Terra, più piccola della prima, e piena. L’unico modo perché aumenti l’attrazione gravitazionale pare sia quello di comprimere tutto il pianeta, mantenendo tutta la massa tra la superficie ed il centro. E qual è l’unica forza in grado di comprimere un pianeta? Ma la gravitazione! Ed in effetti lo ha già fatto, proprio mentre il nostro Sistema Solare si stava formando! Vediamo come.

L’origine del Sole e del Sistema Solare è legata alla condensazione di una nube primordiale di gas e polveri come se ne vedono tante nella nostra galassia. La maggior parte di questa nube era composta di Idrogeno, Elio, Carbonio, Neon, Ossigeno, Azoto, elementi che costituiscono circa il 90 per cento di tutti gli atomi presenti nell’Universo. E’ probabile che l’evento che innescò il collasso sia stato esterno alla nube stessa, altrimenti in equilibrio tra le sue parti. Gli scienziati hanno avanzato l’ipotesi che possa essersi trattato dell’esplosione di una supernova vicina, cioè di una stella di grande massa che arrivata alla fine della sua vita esplode, espellendo tutta la sua atmosfera nello spazio. La silenziosa onda d’urto avrebbe dato quindi la spinta iniziale alla nube: così la morte di una stella può generare la nascita di un’altra stella. Una volta innescato, il collasso si alimenta da solo: diminuendo la distanza fra la materia della nube, si genera un’attrazione gravitazionale maggiore che tende a sua volta a raggruppare la massa. La materia in caduta libera non cade in linea retta verso il centro, ma vi ruota intorno in spirali sempre più strette. La rotazione del Sole e dei pianeti intorno al loro asse, così come la rivoluzione dei pianeti e degli altri corpi intorno al Sole, è proprio il residuo di questo mulinello iniziale. Via via che il collasso procedeva la maggior parte del materiale della nube si concentrò quindi nelle regioni centrali raggiungendo livelli di densità e temperatura tali da permettere la formazione di una stella, un oggetto in grado da solo di produrre ed emettere energia. Alla periferia della nube, invece, il materiale restante continuò a ruotare intorno al centro assottigliandosi in un disco e formò per urti e successive aggregazioni i pianeti a partire dai granelli di polvere presenti. Ancora oggi i corpi maggiori del Sistema Solare ruotano intorno alla nostra stella su uno stesso piano, chiamato eclittica.

I pianeti più vicini al Sole, anche per effetto del vento solare, persero tutti i materiali leggeri che però restarono sui pianeti più esterni. Piccola parentesi. La corona, la parte più esterna dell’atmosfera solare, si espande e investe con una corrente continua lo spazio interplanetario. Questa corrente si chiama vento solare ed è composto di protoni ed elettroni con tracce di nuclei di elio. Secondo gli studi più recenti il sole, attraverso il vento, immetterebbe nello spazio una massa di un milione di tonnellate di particelle al secondo. La velocità delle particelle va da 200 a 900 chilometri al secondo. Il vento solare ha una temperatura che varia da qualche migliaio a un milione di gradi centigradi e provoca alterazioni nei campi magnetici della Terra e degli altri pianeti. Inoltre, spinge in direzione opposta al sole stesso la chioma delle comete. Come dicevo, nell’aggregazione dei pianeti, il vento solare rese privi o quasi di gas leggeri i pianeti fino a Marte e questi infatti sono composti da elementi pesanti, come ferro e silicio; i pianeti esterni, da Giove in poi, invece continuarono ad accumulare gas dalla nube originaria.

Fino ad un certo punto dominava la forza elettromagnetica, facendo aggregare atomi a creare molecole, ma raggiunta una certa massa iniziò a prevalere la gravitazione. I materiali più pesanti che si erano aggregati a creare i pianeti iniziarono a sprofondare verso il centro a causa della loro maggiore densità e quindi della loro maggiore sensibilità alla gravità. Infatti abbiamo in genere nuclei metallici e superfici rocciose. La Luna e Marte sono composti principalmente di roccia. Mercurio, Venere e la Terra sono di roccia e metallo. Oltre a questo, più i pianeti sono piccoli più fanno fatica a trattenere l’atmosfera. La Luna non ne ha e Mercurio, con una gravità superficiale 2,3 volte quella della Luna ma solo 3/8 di quella della Terra, non ha né atmosfera né oceano, mentre Marte, con una gravità di superficie circa come quella di Mercurio, riesce ad avere un’atmosfera molto sottile — circa 0,006 volte più tenue della nostra — oltre che tracce di acqua.

Come mai questo accade? Per colpa della temperatura. Più la temperatura è elevata, più rapidamente si spostano gli atomi e le molecole gassose; alcuni di loro potrebbero avere velocità così elevate da superare la velocità di fuga del pianeta di appartenenza. Al contrario, all’abbassarsi della temperatura, gli atomi e le molecole si muovono più lentamente e le probabilità che qualcuno di loro superi la velocità di fuga del pianeta saranno minori. Mercurio e Marte hanno più o meno la stessa gravità alla superficie (0,37 e 0,38 volte quella della Terra, rispettivamente), ma Marte è quasi quattro volte più lontano di Mercurio dal Sole. Mercurio ha temperature che arrivano a 350°C, la media su Marte è di 20°C. Titano, il più grande satellite di Saturno, ha una gravità superficiale che è la metà di quella di Marte, ma una temperatura di circa -180°C; pertanto ha un’atmosfera quasi densa come quella della Terra.

Il campo gravitazionale terrestre è intenso abbastanza da trattenere atomi di Argon (peso atomico 40) o anidride carbonica, che ha un peso molecolare di 44 (Carbonio 12 + Ossigeno 16×2); ce la fa a trattenere anche Ossigeno (peso molecolare 32) o Azoto (p.a. 28). Ma non riesce a trattenere Elio (p.a. 4) o Idrogeno (p.a. 2). Per fortuna, direi, perché quei pianeti che hanno un campo gravitazionale abbastanza intenso da trattenere Elio e Idrogeno, essendo questi gli elementi più comuni nell’Universo, è facile si accrescano molto e si venga a creare un effetto a catena, con il pianeta che si accresce per aver catturato molto Elio e Idrogeno, aumenta il proprio campo gravitazionale e per questo cattura più Elio e Idrogeno.

Questo ovviamente accade più facilmente lontano dal Sole, dove le temperature sono più basse e le molecole più lente: il risultato è la formazione dei pianeti giganti Giove, Saturno, Urano e Nettuno, che sono composti per lo più da elementi leggeri e quindi così ci spieghiamo la loro bassa densità. Viceversa, più vicini al Sole, dove ci sono temperature più alte, troviamo pianeti più piccoli e composti per lo più di roccia e metallo, quindi con una densità maggiore.

Torniamo al processo di formazione dei pianeti; abbiamo visto che, una volta creatosi la stella, nel nostro caso il Sole (ma sembra il discorso valga per la nascita di quasi tutti i sistemi stellari), iniziò l’aggregazione da parte dei planetesimi, così si chiamano gli oggetti rocciosi primordiali alla base della formazione dei pianeti, asteroidi e degli altri oggetti del sistema solare. Quest’aggregazione era particolarmente violenta, perché grazie all’attrazione gravitazionale i planetesimi catturavano i frammenti che passavano loro vicini e li aggregavano alla propria struttura; ne abbiamo memoria nei crateri che costellano i pianeti rocciosi e anche la Luna. Il risultato di questi scontri non lasciava solo dei crateri, erano anche fonte di calore: infatti l’energia cinetica (dal greco antico κίνησις, kinesis, cioè movimento, energia) residua degli impatti non andava persa, semplicemente perché l’energia non può andare perduta, ma al massimo si può trasformare in qualcos’altro. In questo caso l’energia cinetica si trasformava in calore e il materiale fuso dall’enorme calore sviluppatosi convergeva al centro dei pianeti in formazione.            Sappiamo infatti che il centro dei pianeti è generalmente composto da materiale fuso: quando si scava una miniera sulla Terra, la temperatura sale; non solo, sappiamo che esistono punti di rottura della crosta terrestre (ad esempio i vulcani) che emettono lava (roccia allo stato fuso che fuoriesce in seguito ad una eruzione, forse derivante dal latino “labi”, scivolare). Ciò probabilmente è alla base delle credenze popolari antiche di un inferno situato nel sottosuolo.

C’è un altro fattore da tenere in considerazione: la pressione. Per pressione s’intende la grandezza fisica definita come il rapporto tra la forza agente ortogonalmente su una superficie e la sua area. Sotto l’azione del campo gravitazionale, gli strati esterni di un pianeta sono attirati verso il centro e spingono i livelli sottostanti, anch’essi attirati verso il centro e che spingono a loro volta gli strati inferiori. Questa serie di spinte si somma e fa aumentare la pressione. La pressione non coinvolge solo gli strati rocciosi del pianeta, ma anche l’atmosfera. L’atmosfera (dal greco ἀτμός – atmòs – “vapore” e σφαῖρα – sphàira – “sfera”) rappresenta l’insieme dei gas che circondano un corpo celeste, le cui molecole sono trattenute dalla forza di gravità del corpo stesso. Nel 1630 il fisico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) dimostrò che l’atmosfera terrestre pesa 1,033 kg su ogni cm² di superficie, misurata sul livello del mare (una delle unità di misura della pressione atmosferica è proprio l’atmosfera, cioè 1 atmosfera = 1,033 kg/cm²). Questa spinta (o peso, come spesso viene chiamata la spinta verso il basso) è detta pressione atmosferica. Facciamo una considerazione: se la superficie media dell’uomo è di circa 1,5 m² (15000 cm²) e, se su ogni cm² c’è il peso dell’atmosfera di 1,033 kg/cm², su tutta la superficie del corpo graveranno circa 15.500 kg! Verrebbe da chiedersi come non si venga schiacciati da un peso così enorme. La ragione, molto semplice, è che la pressione atmosferica si esercita in ogni senso perciò non agisce solo sulla parte esterna dell’uomo, ma ha lo stesso valore anche internamente equilibrandosi. Inoltre la circolazione del sangue provoca contro le pareti interne dei vasi sanguigni una pressione leggermente superiore a quella atmosferica. La pressione dell’acqua nelle profondità dell’oceano è molto superiore a quello dell’aria, poiché l’acqua è molto più aria densa e c’è una massa maggiore attirata verso il basso. Nella parte più profonda del mare la pressione dell’acqua è poco più di 1.000.000 g/cm2, o circa 1.000 atmosfere.

Se consideriamo l’interno della Terra, le pressioni sono ancora maggiori, poiché roccia e metallo sono più densi dell’acqua e le profondità sono maggiori. In tal senso, a una profondità di 2.200 chilometri, un terzo del viaggio verso il centro della Terra, la pressione è quasi di 1.000.000 atmosfere. A una profondità di 4.000 km è di circa 2.500.000 atm. Al centro della terra è quasi di 3.700.000 atmosfere. Questa enorme pressione spinge il nucleo liquido a diventare solido al centro della Terra nonostante l’enorme temperatura, cosicché il nucleo è diviso in due strati: uno esterno liquido e uno interno solido, entrambi a composizione piuttosto omogenea caratterizzata da ferro e nichel. Naturalmente, ancora una volta Giove rappresenta le condizioni più estreme tra i pianeti del Sistema Solare. La sua regione centrale regge colonne di materiale undici volte più pesanti rispetto alla Terra (anche se il materiale di Giove è meno denso rispetto al nostro) e resiste a una pressione di circa 10.000.000 atmosfere.

Che cosa permette ai materiali di resistere a tali enormi pressioni? La prossima volta parleremo di resistenza alla compressione, altro passo che ci avvicinerà alla comprensione dei buchi neri e di come nell’Universo esistano oggetti ben più grandi del nostro Sole. E forse in un paio di “puntate” arriveremo ad accennare anche quale sarà il nostro destino…

Fonte: Il collasso dell’Universo, Isaac Asimov, Mondadori 1986

 

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