La cinematica

Ogni volta che ci si accinge a fare qualcosa, si possono avere molteplici atteggiamenti. C’è chi odia le scadenze, c’è chi è abituato a fare tutto all’ultimo momento, c’è chi programma e chi no. Io tendo a non avere (o almeno ci provo) lo stesso atteggiamento in tutte le occasioni, ma l’istinto a volte prevale sulla ragione. Il mio passato militare mi porta a cercare di programmare con anticipo qualunque cosa voglia fare, anche se a volte mi rendo conto di correre a vuoto (con il termine “corse a vuoto” si identifica una particolare corsa equestre, in cui i cavalli corrono senza fantino. Attualmente corse a vuoto vengono effettuate solo a Ronciglione, una cittadina della provincia di Viterbo dove la tradizione si tramanda dal XV secolo ai tempi di Papa Paolo III Farnese). Adesso che avrei voluto scrivere di fisica in maniera organica, è venuto fuori un progetto (segreto, ovviamente) che mi allontanerà un po’ dal blog. Ma non troppo, mio giovane lettore, non disperare…

Intanto, aspettando la partenza di quel progetto segreto (ok, non ci riesco, devo scrivere un libro, ecco, l’ho detto…), continuo da dove avevo lasciato, anche se in verità di fisica ho parlato ben poco, nelle due (e mezzo) precedenti parti. Ho parlato di misure e di sistemi di riferimento e di come la fisica sia interconnessa un po’ con tutte le materie scientifiche (e anche con quelle non scientifiche). Inoltre abbiamo rivisto la vita di Marie Curie, di cui avevo già scritto in passato, proprio perché personaggio interessante sia per la fisica sia per la scienza in generale. Oggi iniziamo a parlare un po’ di fisica…

I primi fenomeni fisici che studieremo saranno quelli connessi al moto. Le ragioni per questa scelta sono molteplici. Storicamente lo studio dei moti semplici costituisce una delle prime applicazioni del metodo scientifico. Galileo Galilei (1564-1642) descrisse correttamente le leggi di caduta dei corpi e fu anche in grado di spiegare dettagliatamente il moto dei proiettili tramite un uso corretto del metodo scientifico, dando cioè priorità al confronto delle sue leggi con gli esperimenti. Inoltre il moto è un tema che pervade tutta la fisica, gli atomi in tutte le forme della materia sono in continuo movimento, il moto di un elettrone produce la corrente elettrica, i pianeti si muovono attorno al sole, e così via.

La cinematica (dal greco κίνημα -ατος, kinema -atos = «movimento», derivato a sua volta dal verbo κινέω, kineo = “muovo”) è la scienza che descrive il moto degli oggetti usando parole, diagrammi, numeri, grafici ed equazioni. Il fine di ogni studio di cinematica è di sviluppare modelli mentali che ci servono per descrivere (ed infine spiegare) il moto degli oggetti del mondo reale.

Iniziamo con le parole usate per descrivere il moto di un oggetto, ovvero con il linguaggio della cinematica. Le parole usate con regolarità sono: vettori, scalari, spazio percorso, spostamento, velocità, accelerazione.

La fisica è una scienza matematica, vale a dire che i concetti e i principi fisici hanno una base matematica. In particolare, le quantità matematiche usate per descrivere il moto di oggetti possono essere divise in due categorie:

  • scalari – quantità descritte completamente dalla loro misura;
  • vettori – quantità descritte oltre che dalla loro misura (modulo del vettore), anche da direzione e verso. Sono rappresentati da frecce, la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore.

Ad esempio, immaginate una foto di un incontro di tennis nel quale si vede la pallina. Guardando la pallina e dicendovi che sta viaggiando alla velocità di 30 km/h, avete una descrizione completa della velocità? Non vi manca niente? Siete sicuri che è sufficiente un numero? La domanda che dovrebbe venirvi subito in mente è: “Ok, ma da che parte va quella pallina? Sta cadendo, salendo, a destra o sinistra?”. Ebbene, per descrivere la velocità della pallina, non è sufficiente un numero, vi serve anche una direzione, che graficamente si rappresenta con una linea. Adesso siete al completo? Io non credo… Sapete che la pallina sta viaggiando a 30 km/h e sapete anche la direzione. Che cos’è che vi manca? Ma certo, non sapete se la pallina sta cadendo oppure salendo, in altre parole vi manca il verso della velocità, che graficamente si indica con una freccia.

vettore_velocita_1 vettore_velocita_3

Ecco, quello è un vettore (una grandezza vettoriale, per essere precisi…).

Spazio percorso e spostamento sono quantità che sembrano significare la stessa cosa, in realtà hanno diverse definizioni e diverso significato.

  • Spazio percorso – quantità scalare che si riferisce a quanto spazio ha percorso un oggetto durante il suo moto;
  • Spostamento – quantità vettoriale che si riferisce al cambiamento di posizione di un oggetto.

Facciamo un esempio anche qui. Consideriamo un bambino che cammina per 4 metri a Est, 2 metri a Sud, 4 metri ad Ovest ed infine 2 metri a Nord. Anche se il bambino ha camminato coprendo in totale 12 metri il suo spostamento è nullo. Durante il suo moto ha percorso uno spazio di 12 metri ma alla fine del moto il bambino è tornato esattamente al suo posto, quindi il suo spostamento è stato di 0 metri. Lo spostamento è una quantità vettoriale e quindi dipende dalla direzione: i 4 metri ad Est sono stati cancellati dai 4 metri ad ovest e i 2 metri a Sud sono stati cancellati dai 2 metri a Nord.

La velocità è una quantità vettoriale che si riferisce a quanto e come un oggetto cambia la sua posizione. Immaginiamo una persona che si muove velocemente, un passo in avanti e un passo indietro, tornando sempre nella sua posizione di partenza. La sua velocità è zero. Se una persona in moto vuol massimizzare la sua velocità, allora questa dovrà fare ogni sforzo per massimizzare lo spostamento dalla sua posizione di partenza, e, sicuramente, non dovrà mai cambiare direzione e tornare verso il punto da cui è partita. La velocità, essendo una grandezza vettoriale, dipende infatti dalla direzione. Non è sufficiente dire che un’auto si muove con una velocità di 50 Km/h. Dobbiamo dare anche informazioni sulla direzione e verso per descrivere completamente la velocità dell’auto. Per esempio dovremmo dire che l’auto si muove con una velocità di 50 Km/h verso Est.

Indicare la direzione della velocità è un compito molto semplice, visto che questa è la stessa della direzione in cui si sta muovendo l’oggetto. Indipendentemente dal fatto che l’oggetto stia rallentando o stia aumentando la sua velocità, la sua direzione sarà sempre data dalla direzione in cui si sta muovendo l’oggetto stesso.

Possiamo poi definire un’altra grandezza, che chiameremo velocità scalare che descrive quanto spazio è stato percorso nell’unità di tempo. Nell’esempio precedente della persona che compie un passo avanti e uno indietro, abbiamo visto che la sua velocità è nulla in quanto il suo spostamento è nullo, ma non sarà nulla la sua velocità scalare.

Quando un oggetto si muove, spesso subisce variazioni di velocità. Ad esempio in un normale percorso in auto, l’indicatore di velocità (o più correttamente della velocità scalare) si muove costantemente a causa di frenate o accelerate. È quindi utile introdurre il concetto di velocità scalare media.

La velocità scalare media è una grandezza scalare definita come lo spazio totale percorso diviso il tempo impiegato, e tale definizione è molto diversa da quella per la velocità vettoriale media. Per esempio, nel moto circolare (il moto che avviene lungo una circonferenza) dopo un periodo T la velocità vettoriale media è nulla, perché il punto di arrivo e quello di partenza coincidono, ovvero ∆r=0 mentre la velocità scalare media è uguale a 2πR/T, in cui R è il raggio della circonferenza.

Facciamo subito un esempio: Chiara e Max sono in viaggio attraverso l’Italia e percorrono un totale di 440 Km in 8 ore. Qual è stata la loro velocità scalare media? (non possiamo avere informazioni sul vettore velocità visto che non sappiamo niente sulla direzione dello spostamento). Otteniamo quindi

         velocita scalare media = 440 Km/8 h = 55 Km/h

Questo non significa che Chiara e Max abbiano viaggiato ad una velocità costante di 55 Km/h. Sicuramente si sono fermati qualche volta (per esempio per il pranzo, conoscendo Max…) e quindi avranno percorso dei tratti a velocità superiore, per esempio a 80 Km/h. Ma la loro velocità scalare media è stata di 55 Km/h. In genere, nel linguaggio comune, è quella che noi chiamiamo semplicemente “velocità media”.

Consideriamo ora l’esempio di prima e supponiamo che il bambino compia il percorso in 24 secondi. Determiniamo la velocità scalare media e la velocità media. Il bambino ha percorso uno spazio di 12 metri in 24 secondi: quindi la sua velocità scalare media è 0,5 m/s. Però, siccome il suo spostamento è di 0 m la sua velocità media è di 0 m/s. (Ricordiamo che lo spostamento si riferisce al cambiamento di posizione e che la velocità si basa sulla variazione di posizione).

Poiché un oggetto in movimento cambia spesso la sua velocità durante il moto, è utile distinguere tra velocità media e velocità istantanea:

  • velocità istantanea – velocità ad un dato istante di tempo;
  • velocità media – variazione della posizione nell’intervallo di tempo considerato; il modulo è dato semplicemente dal rapporto (spostamento/tempo).

Non sempre gli oggetti si muovono con velocità variabile in modulo e/o in direzione. Può succedere che un corpo si muova con velocità costante: tale corpo percorrerà distanze uguali a intervalli di tempo regolari. Ad esempio un corridore può correre in linea retta con velocità costante di 6 m/s. Se la sua velocità si mantiene costante, questo coprirà uno spazio di 6 m ogni secondo. Se fossimo in grado di misurare la sua posizione (spazio percorso da un punto di partenza arbitrario) ciascun secondo, potremmo notare che la sua posizione cambia di 6 m ciascun secondo. Questo è in contrasto con un oggetto che cambia la sua velocità, che quindi coprirà distanze diverse ogni secondo. È utile quindi introdurre un’altra grandezza: l’accelerazione.

L’accelerazione è la quantità vettoriale che si riferisce a quanto e come un oggetto cambia la sua velocità. Un oggetto sta accelerando quando sta cambiando la sua velocità.

Quindi l’accelerazione non ha niente a che fare con quanto un oggetto si muove velocemente, viceversa è legata al cambiamento della velocità di un corpo. Se un oggetto non sta cambiando la sua velocità, allora l’oggetto non sta accelerando. In altre parole, un oggetto che si muove con velocità costante ha accelerazione nulla. Tutte le volte che la velocità di un oggetto cambia si dice che sta accelerando. Visto che gli oggetti accelerati cambiano costantemente la loro velocità, possiamo dire che (spazio percorso/tempo) non è costante.

Un oggetto che cade accelera. Se osserviamo il moto di un oggetto in caduta libera possiamo costruire una tabella:

Intervallo di tempo (∆t) velocità media nell’intervallo ∆t spazio percorso nell’intervallo ∆t spazio percorso totale
0-1 s 5 m/s 5 m 5 m
1-2 s 15 m/s 15 m 20 m
2-3 s 25 m/s 25 m 45 m
3-4 s 35 m/s 35 m 80 m

Vediamo da questo esempio che poiché la velocità varia di una quantità costante ogni secondo, l’oggetto sta accelerando in modo costante. Date le velocità medie per ogni intervallo di tempo, possiamo dedurre che l’oggetto è caduto di 5 metri nel primo secondo, di 15 metri nel secondo secondo (con uno spazio percorso totale di 20 metri), di 25 metri nel terzo secondo (con un totale di 45 metri), di 35 metri nel quarto secondo (con uno spazio percorso totale di 80 metri dopo 4 secondi) e via andando. Quindi un oggetto in caduta libera che accelera in modo costante coprirà spazi diversi in ogni successivo secondo (notare che nel caso di un moto di caduta libera sia direzione che verso sono fissati durante tutto il moto quindi, in questo caso, lo spazio percorso coincide con il modulo del vettore spostamento). Dall’analisi della prima e dell’ultima colonna dei dati in tabella scopriamo che c’è una relazione quadratica tra lo spazio totale percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo per un oggetto che parte da fermo e che accelera in modo costante: lo spazio percorso totale è proporzionale al quadrato del tempo. Ovvero, fissato un intervallo di tempo di riferimento ∆t, se un oggetto cade per 4 volte ∆t, coprirà una distanza 42 = 16 volte più grande di quella coperta in ∆t (nell’esempio ∆t=5, 5×16=80) . L’accelerazione media di un oggetto si calcola usando l’equazione seguente:

accelerazione media = ∆/tf-ti = vf-vi

Ricordiamo che il simbolo ∆ indica una variazione, vf e vi indicano la velocità finale ed iniziale (si leggono v di f e v di i) e tf e ti il tempo finale ed iniziale. Questa equazione può essere usata per calcolare l’accelerazione di un oggetto il cui moto è descritto dai dati velocità-tempo in tabella.

Poiché l’accelerazione è una quantità vettoriale, avrà una direzione ed un verso ad essa associati. Il verso del vettore accelerazione dipende:

  • dal verso della velocità;
  • da cosa sta facendo l’oggetto in moto: se sta aumentando la sua velocità o la sta diminuendo. Vale la regola seguente: se un oggetto sta rallentando, allora la sua accelerazione è nella direzione opposta al moto e in gergo è conosciuta come “decelerazione”, anche se in fisica si chiama accelerazione negativa.

Per quanto sia a volte difficile, vi chiederò spesso di rappresentare i concetti fisici in modo visivo. Il mondo che stiamo cercando di capire è il mondo fisico, un mondo che possiamo vedere. Nel momento in cui cerchiamo di capirlo, questo processo coinvolgerà rappresentazioni visive. E quindi molto importante che le nostre abitudini di studio e di apprendimento siano continuamente controllate; dobbiamo cioè chiederci se le nostre conoscenze sono basate su una serie di parole astratte che non hanno relazione con il mondo fisico che cercano di descrivere o se invece le nostre conoscenze sono intimamente collegate a tale mondo fisico dalle nostre immagini visive.

Un diagramma vettoriale, ad esempio, indica la direzione, il verso e il modulo di una quantità vettoriale con una freccia. Il modulo del vettore è rappresentato dalla lunghezza del vettore. Diagrammi vettoriali possono essere usati per descrivere la velocità di un oggetto durante il suo moto. Essi possono essere usati per rappresentare qualunque quantità vettoriale come ad esempio l’accelerazione, la forza o il momento di una forza. Il grande Richard Feynman (1918-1988) usando i diagrammi vettoriali nella fisica delle particelle ha inventato di fatto l’elettrodinamica quantistica, vincendo nel 1965 il premio Nobel per la fisica.

Per terminare questa introduzione (introduzione? Io già non ce la faccio più a leggere, dirà il mio amico Vincenzo…, ok Vins, sto scherzando, ho quasi finito…) notiamo che la velocità media, cosi come l’accelerazione media non danno una caratterizzazione completa del moto. Per esempio in un intervallo di tempo di un’ora è possibile che la velocità sia cambiata più di una volta, mentre in un periodo di tempo più breve è possibile che si siano avute minori variazioni. Una idea più precisa si potrebbe avere se si conoscesse la velocità ad ogni istante. Per esempio il tachimetro (dal greco ταχύς, tachýs, “veloce”) di una macchina permette una tale conoscenza in modo pressoché istantaneo. Quello che fa il tachimetro (anche se tutti lo chiamano contachilometri) è di misurare di quanto si sposta la macchina (che viene dedotto dal numero di giri delle ruote) per intervalli di tempo molto piccoli. In questo modo si ha la velocità media in un intervallo di tempo piccolo. Dato che in questo intervallo di tempo la velocità sarà rimasta quasi costante, questa media si può assumere come valore istantaneo. Cioè la velocità istantanea può essere descritta come una velocità media calcolata su un intervallo di tempo molto breve. In modo analogo l’accelerazione istantanea può essere pensata come l’accelerazione media valutata su un intervallo di tempo molto piccolo.

Ricapitolando, abbiamo detto che la cinematica del punto materiale studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause, per questo possiamo affermare che è la parte più elementare della meccanica: infatti, per riassumere, possiamo dire che un corpo è in moto quando la sua posizione rispetto ad un altro, assunto come riferimento, varia nel tempo.

Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono:

  • Spazio – s, l, x, r…
  • Tempo – t
  • Velocità – v
  • Accelerazione – a

Dunque per descrivere il moto di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria, è sufficiente associare ad ogni istante t il numero s che esprime la sua posizione sulla traiettoria in quell’istante. La legge che associa ad ogni istante t il corrispondente valore di s è detta legge oraria.

La legge oraria può essere espressa tramite:

  • una tabella
  • un grafico
  • una formula matematica

Abbiamo anche visto che la velocità è quella grandezza vettoriale che esprime la rapidità con cui cambia nel tempo la posizione del punto materiale, in pratica il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo.

Le principali tipologie del moto di corpi puntiformi sono:

  • stato di quiete (eh, sì, anche lo stato di quiete è un moto, in cui la velocità è nulla);
  • moto rettilineo uniforme: tipico del punto che mantiene costante modulo, direzione e verso del vettore velocità;
  • moto circolare uniforme: punto che si muove lungo una circonferenza con modulo della velocità costante;
  • moto rettilineo uniformemente accelerato: punto che si muove con velocità regolarmente variabile in modulo e con direzione e verso costanti (esempio: caduta dei gravi);
  • moto parabolico: punto che si muove nelle due dimensioni di un piano verticale con velocità orizzontale costante e accelerazione verticale costante (ad esempio moto dei proiettili);
  • moto armonico: tipico della massa del pendolo o dello stantuffo del motore;
  • moto kepleriano: caratteristico dei pianeti e in genere dei corpi sottoposti a un potenziale coulombiano;
  • moto elicoidale uniforme: moto tridimensionale di un punto; il moto si compone di un moto piano circolare uniforme in un piano e di un moto rettilineo uniforme nella direzione perpendicolare al piano detto.

Non li descriverò uno ad uno perché lo scopo di questi scritti non è quello di creare un manuale, ma di dare una traccia a chi volesse partire a studiare fisica in maniera un po’ più approfondita.

Prima di chiudere questa parte voglio citare uno dei più comuni errori che vengono fatti riguardo al moto dei gravi in caduta libera. Sappiamo che l’accelerazione di un oggetto in caduta libera (sulla terra) è di 9,8 m/sec2. Questo valore è lo stesso per tutti gli oggetti, indipendentemente dal tempo di caduta, dalla loro velocità iniziale, dalla loro posizione iniziale. La domanda che spesso viene fatta è la seguente: un oggetto con una massa maggiore accelera di più rispetto ad un oggetto con minore massa? La risposta è no; ovviamente se stiamo considerando il moto di caduta libera che avviene sotto la sola influenza della forza di gravità. Questa domanda è ragionevole e deriva da osservazioni quotidiane di oggetti in caduta libera. Chiunque di noi ha osservato la differenza tra la caduta di un pezzo di carta e di un libro! I due oggetti, anche se lanciati dalla stessa altezza, non cadono con velocità confrontabili, il libro cade più velocemente. Ma questo è dovuto all’effetto della resistenza dell’aria. La spiegazione del perché tutti i corpi subiscano la stessa accelerazione di gravità richiede la conoscenza dei concetti di forza e di massa che vedremo in seguito. Impareremo che l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa. Quindi su una massa doppia agisce una forza gravitazionale doppia, ma poiché l’accelerazione è inversamente proporzionale alla massa, ne risulta che tutti gli oggetti cadono con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa.

Adesso che abbiamo i concetti di base del moto, senza però saperne le cause, possiamo andare un po’ più a fondo. La prossima volta, quando sarà, parleremo di “dinamica”, che è il ramo della meccanica che si occupa dello studio del moto dei corpi e delle sue cause o, in termini più concreti, delle circostanze che lo determinano e lo modificano.

Ovviamente invito come sempre tutti i lettori a farsi e farmi domande su quanto da me raccontato, poiché è questo il modo migliore per imparare le cose! Alla prossima!

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