La dinamica

Tempo fa avevo annunciato in “Introduzione alla fisica” della volontà di occuparmi in maniera più organica e ordinata di fisica, ma dopo un anno ancora non ci sono riuscito. Il tempo libero scarseggia e siccome questo di scrivere è un hobby, mi piacerebbe rimanesse tale (almeno per ora, Marcello, non ti preoccupare).

In tutti i modi, oggi proverò a riprendere da dove avevo interrotto e ricomincio parlando di dinamica.

Fin ad ora ci siamo limitati ad osservare il moto (nel precedente articolo “La cinematica”) e a discuterne varie caratteristiche introducendo quantità come la velocità e l’accelerazione che ci aiuteranno nella comprensione delle cose che seguiranno.

La dinamica è il ramo della meccanica che si occupa dello studio del moto dei corpi e delle sue cause o, in termini più concreti, delle circostanze che lo determinano e lo modificano. Lo studio completo della meccanica comprende anche la statica e la cinematica: la dinamica si differenzia dalla prima che studia le configurazioni di equilibrio meccanico, dalla seconda che studia, in astratto, tutti i moti concepibili ma non si occupa di determinare quali moti possono avvenire in un determinato contesto sperimentale.

Secondo l’intuizione fondamentale di Galileo e Newton, le forze non sono la causa del moto, ma producono una variazione dello stato di moto, ovvero un’accelerazione. Questa intuizione equivale ad affermare la relatività del movimento; un osservatore può determinare il suo stato di quiete o di moto solo relativamente ad altri corpi (o altri osservatori). Per questo è possibile parlare delle cause che variano il moto, ma non delle cause del moto.

Lo studio della dinamica si conduce innanzitutto riferendosi a un’entità astratta, dotata di massa ma con dimensioni trascurabili: il punto materiale. Tutte le leggi riferite al punto materiale possono essere poi estese ai corpi reali (dotati di massa e di dimensioni finite) interpretati come sistemi di punti materiali; se ci si occupa di corpi nei quali le distanze relative tra i punti costituenti il sistema non variano nel tempo, si parla di “dinamica dei corpi rigidi”; in caso contrario si parla di “dinamica dei corpi deformabili”.

Come accennavo, Galileo Galilei (1564 – 1642) ed Isaac Newton (1642 – 1727) furono fautori di una vera e propria rivoluzione. E come avrete notato, l’anno di nascita di Newton è anche l’anno di morte di Galilei. Cosa significa? Assolutamente nulla, ma mi andava di scriverlo…

Prima di Galileo la conoscenza dei fenomeni naturali era essenzialmente legata all’osservazione diretta; da Galileo in poi l’osservazione si integrò con la sperimentazione. Prima di Galileo gli strumenti erano pochi, usati per alcune misure matematiche e astronomiche o più spesso impiegati per soddisfare bisogni quotidiani; da Galileo in poi gli strumenti diventarono ineliminabili ausili per ampliare le conoscenze scientifiche.

Prima di Newton la cultura scientifica non esisteva neppure, perché era ferma alle visioni aristoteliche, cioè che la sfera terrena era composta da 4 elementi (terra, aria, acqua, fuoco) mentre quelle celesti erano fatte di un solo, quinto elemento (l’etere, perfetto ed incorruttibile). Sulla terra i quattro elementi tendevano a ritornare nel luogo che gli competeva (il cielo compete al fuoco ed all’aria, mentre il suolo compete alla terra ed all’acqua); quindi la terra e l’acqua tendevano a cadere (per ritornare al suolo) mentre l’aria ed il fuoco tendevano a risalire (per ritornare al cielo).

Newton però fissò delle leggi e delle regole precise; cerchiamo prima di capire cosa sia la dinamica e come arrivare a quelle leggi.

Tutti noi abbiamo sperimentato il fatto che per ”mettere in moto” un oggetto occorre effettuare uno ”sforzo”. Infatti nell’accezione comune la forza è legata ad un’azione muscolare: tutti sappiamo anche che dobbiamo esercitare una grande forza per spingere una macchina, ma che probabilmente non siamo in grado di spingere un camion per quanto sforzo possiamo esercitare. Dunque in qualche modo il moto ha a che fare con la quantità di materia e con lo sforzo che si esercita.

Dato che per far muovere un corpo è necessario esercitare uno sforzo, si è pensato per lungo tempo che per far viaggiare un corpo con velocità costante occorresse una forza. D’altra parte questa osservazione non spiega perché per smuovere un corpo occorra uno sforzo muscolare (o una forza) molto superiore. Analogamente, per fermare un corpo in movimento occorre uno sforzo superiore a quello necessario per mantenerlo in moto. La spiegazione odierna è che occorre considerare tutti gli effetti a cui è sottoposto un corpo in movimento.

Infatti consideriamo una palla con una superficie molto liscia che rotoli su una superficie anch’essa molto liscia. Se la mettiamo in movimento con una spinta essa continuerà a rotolare per un bel tratto, ma alla fine si fermerà. Nella vecchia teoria dell’impetus, la spiegazione era che la palla perdeva lentamente la forza (l’impetus) che le era stata applicata. Questa nozione persiste tutt’oggi come nozione di senso comune e deriva da una sorta di identificazione tra lavoro effettuato e forza applicata. In ogni caso, se ripetiamo l’esperienza precedente della palla su una superficie più ruvida, stando attenti a fornirle uguale spinta, si vedrà che la palla effettuerà un percorso più breve. Questo ci suggerisce che siano le irregolarità della superficie ad ostacolare il moto. Ovviamente queste irregolarità non sono completamente eliminabili. Anche se studiassimo il moto all’interno di una camera a vuoto, qualche piccolo effetto di resistenza al moto sarebbe sempre presente, visto che anche con le migliori tecniche a nostra disposizione una piccola quantità di aria rimane sempre presente (circa 108 atomi/cm3 nel vuoto migliore).

Possiamo però pensare ad una situazione idealizzata, come abbiamo fatto nel caso della caduta dei gravi nel precedente “paragrafo”, dove si ipotizza la possibilità di avere superfici perfettamente lisce e/o ambienti completamente privi di gas. Le esperienze precedenti suggeriscono che in queste condizioni, una volta messo in moto un corpo, e nessun’altra forza applicata, il corpo continui nello stato di moto che aveva al momento in cui la forza applicata è cessata. L’affermazione che il corpo rimane nel suo stato di moto significa che se possiede una certa velocità e quando cessa la forza, questo continuerà a mantenerla. Se il corpo era inizialmente in quiete con nessuna forza applicata, il corpo rimarrà in quiete. Questo è il contenuto della prima legge di Newton che per altro era già nota a Galileo ed a Cartesio.

  1. Il principio di inerzia o primo principio della dinamica: Se su un corpo non agiscono forze o agisce un sistema di forze in equilibrio, il corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Per “sistema di forze in equilibrio” si intende un insieme di forze la cui somma vettoriale sia nulla (se spingo un oggetto da due lati opposti, è ovvio che non si muova).

Questa legge non ci dice molto nei riguardi di una definizione quantitativa della forza, però ce ne descrive gli effetti qualitativi. Per esempio, ci dice che la presenza di una forza sarà connessa con un’accelerazione non nulla ed in questo senso ci dà una sorta di definizione operativa della forza stessa. Cioè ci dice che l’effetto di una forza è quello di produrre una variazione di velocità. Questa variazione di velocità è detta appunto accelerazione.

In termini “tecnici” (o, meglio, differenziali), l’accelerazione è la derivata rispetto al tempo del vettore velocità, così come la velocità è la derivata del vettore posizione rispetto al tempo. Per quello, essendo la derivata di una derivata, l’accelerazione si esprime in metri al secondo per secondo.

Ci sono molte applicazioni della prima legge di Newton. Basti pensare ad esempio a cosa succede quando andiamo in automobile. Avete mai osservato il comportamento di una bibita in auto quando si passa dallo stato di riposo (auto ferma) allo stato di moto? La bibita, che è a riposo, ”tende” a rimanere nel suo stato di riposo e se il bicchiere è pieno fino all’orlo, il liquido si rovescia. Viceversa, quando un’auto frena, la bibita ”tende” a preservare il suo stato di moto con la stessa velocità, e nuovamente si rovescia. Quindi non bevete bibite mentre accompagnate i vostri amici alle guide per prendere la patente.

 La stessa cosa succede all’autista dell’auto. Quando frena, subisce l’effetto della propria inerzia. Infatti tenderà a mantenere il proprio moto. Sarà la cintura di sicurezza ad applicare su di lui una forza tale da farlo fermare insieme alla sua auto.

Ma cos’è l’inerzia? Possiamo definirla come la tendenza naturale dei corpi a ”resistere” alle variazioni del loro stato di moto.

In realtà il concetto di inerzia, fu introdotto da Galileo, che ipotizzò l’esistenza di una forza, detta forza d’attrito, come responsabile dell’arresto del moto degli oggetti. Le sue esperienze si servivano di piani inclinati posti uno di fronte all’altro. Galileo osservò che una pallina scendeva da un piano inclinato e saliva sull’altro arrivando circa alla stessa altezza. Cambiando inclinazione di uno dei piani inclinati, osservò che ancora la pallina raggiungeva la stessa altezza di partenza, quindi percorrendo spazi maggiori. Ipotizzò che le piccole differenze nelle quote raggiunte fossero dovute alla presenza di una forza di attrito e concluse che nel caso ideale in cui l’attrito fosse completamente eliminato la pallina raggiungerebbe esattamente la stessa altezza. Questo significa che riducendo sempre più l’inclinazione di un piano inclinato, la pallina percorrerà distanze sempre maggiori, fino ad arrivare al caso in cui, in assenza di attrito, la pallina continua nel suo stato di moto a velocità costante.

Abbiamo detto che l’inerzia è la tendenza di un oggetto a resistere alle variazioni del suo stato di moto. Ma cosa intendiamo con ”il suo stato di moto”? Lo stato di moto di un oggetto è definito dalla sua velocità. Quindi possiamo dire che l’inerzia di un corpo è la sua tendenza a resistere alle variazioni di velocità. Inoltre, come abbiamo imparato, le variazioni di velocità sono legate all’accelerazione. Quindi l’inerzia di un corpo è la sua tendenza a resistere all’accelerazione.

Nell’enunciato della prima legge di Newton, si dice che se la forza totale che agisce su un corpo è nulla, allora l’accelerazione a cui è soggetto il corpo è nulla. La forza totale è la risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo. Se la risultante è nulla, significa che tali forze si fanno equilibrio. Quindi la prima legge di Newton afferma che “se le forze che agiscono su un corpo non sono in equilibrio, allora il corpo subirà un’accelerazione”.

La relazione esistente tra forza e accelerazione è contenuta nella seconda legge di Newton. Più precisamente la seconda legge di Newton dà una relazione tra tre quantità: massa, forza ed accelerazione. Mentre abbiamo dato una definizione operativa di accelerazione, dobbiamo ancora definire le altre due quantità. Ma leggiamoci prima la seconda legge.

2. La legge fondamentale della dinamica o secondo principio della dinamica: Se su un corpo agisce una forza o un sistema di forze, la forza risultante applicata al corpo possiede direzione e verso della sua accelerazione e, in modulo, è direttamente proporzionale al modulo la sua accelerazione.

La costante di proporzionalità tra queste due grandezze è la massa, detta in questo caso “massa inerziale”, grandezza specifica di ciascun corpo. Questa legge può essere enunciata mediante l’equazione

F=ma

dove F è la risultante delle forze agenti sul corpo, m la massa dello stesso, e a l’accelerazione cui è soggetto.

In pratica il moto accelerato si produce solo tramite l’applicazione di una forza, l’accelerazione prodotta su di un corpo da una data forza è proporzionale alla forza stessa e la costante di proporzionalità è detta massa del corpo.

Possiamo adesso usare la seconda legge di Newton per fissare delle convenienti unità di misura per le forze e definire poi la massa. Andiamo a Gaithersburg, nel Maryland, presso il National Institute of Standards and Technology e trafughiamo nottetempo la massa campione di platino iridio (di cui avevamo già parlato): applicandogli una forza tale da produrre un’accelerazione di 1 m/sec2, diremo che la forza ha un valore di 1 Newton, abbreviato 1 N. In questo modo possiamo tarare i nostri dinamometri assegnando ad ogni forza, determinata precedentemente in relazione ad un peso campione, un valore in Newton. Dalla equazione vediamo che l’unità di forza è uguale all’unità di massa per l’unità di accelerazione, ovvero

1 N = 1 Kg m/sec2

A questo punto, usando un apparecchio del tipo mostrato in figura che segue,

dinamometro

possiamo misurare la massa di un corpo, semplicemente misurando l’accelerazione del corpo e la forza ad esso applicata usando un dinamometro. Si può inoltre verificare che le masse si sommano. Cioè la stessa forza applicata ad una massa doppia, produce un’accelerazione pari alla metà.

Ricordiamo l’esperimento di Galileo che realizzò dalla Torre di Pisa, in cui asseriva che tutti gli oggetti in caduta libera subiscono la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa. Consideriamo il moto di un sasso con una massa di 10 Kg e quello di una massa di 1 K. Sul sasso di 10 Kg agisce una forza 10 volte maggiore della forza che agisce sul sasso di 1 Kg e l’accelerazione dei due sassi è la stessa: l’accelerazione di gravità (9,8 m/s2).

Quindi possiamo dire che la forza di gravità è proporzionale alla massa e costante per tutti gli oggetti: spesso il peso di un corpo non viene espresso in N ma in Kgp (chilogrammo peso). Ricordiamo che il Kgp è l’intensità della forza peso a cui è soggetta la massa di un Kg. Quindi, ad esempio, 1 Kg di pane pesa 1 Kgp, cioè 9,8 Newton (e io 872,2, ma non ditelo a mia moglie altrimenti mi mette a dieta).

Il panorama della dinamica è completato dalla terza legge di Newton. Abbiamo dato una definizione operativa di forza dall’analisi di situazioni di equilibrio (definizione statica di forza). Possiamo però considerare una definizione più generale di forza come l’effetto su di un oggetto che deriva dalla sua interazione con un altro oggetto. Ogni volta che c’è interazione tra due oggetti, c’è una forza che agisce su ciascuno di essi. Quando l’interazione cessa i due oggetti non sono più sottoposti a forza. Per semplicità, tutte le forze (interazioni) tra oggetti, possono essere divise in due categorie: forze di contatto e forze che risultano da interazioni a distanza. Le forze di contatto sono tipi di forza tra due corpi che sono effettivamente a contatto. Questo è ad esempio il caso delle forze di attrito, delle forze di reazione di superfici di appoggio, delle forze di resistenza dell’aria ecc. Le forze di azione a distanza sono tipi di forza in cui i due oggetti interagenti non sono a contatto fisico, come ad esempio nel caso della forza gravitazionale (il sole e i pianeti si attraggono nonostante siano separati spazialmente, anche nel caso in cui un oggetto non tocca il suolo, è attratto dalla forza gravitazionale), oppure il caso della forza elettrica (i protoni nel nucleo atomico attraggono gli elettroni), le forze magnetiche (due calamite si attraggono o si respingono anche se sono separate da una distanza di qualche centimetro).

Quindi ne risulta:

3. Il principio di azione-reazione o terzo principio della dinamica: Se due corpi interagiscono tra loro, si sviluppano due forze, dette comunemente azione e reazione: come grandezze vettoriali sono uguali in modulo e direzione, ma opposte in verso.

Questa affermazione significa che in ogni interazione, c’è una coppia di forze che agisce sui due oggetti interagenti. Tale coppia è formata dalla forza di azione e da quella di reazione (uguali in modulo, con la stessa direzione ma verso opposto).

Attenzione, le forze di azione e reazione non si fanno equilibrio, perché sono applicate a oggetti diversi! Esiste una grande quantità di situazioni in cui due forze uguali ed opposte agiscono sullo stesso oggetto, annullandosi a vicenda cosicché non si avrà alcuna accelerazione (o addirittura nessun moto). Questo non riguarda il terzo principio della dinamica (terza legge di Newton), ma piuttosto un caso di equilibrio tra forze.

Chi ha familiarità con le piccole imbarcazioni sa bene che prima di saltare da una barca verso il molo di attracco, è opportuno legare prima la barca al molo e afferrare una presa sul molo prima di saltare. Altrimenti, quando saltate, la barca “magicamente” si allontana dal molo, facendovi fallire il salto, oppure spingendo la barca fuori dalla vostra portata. Tutto questo è dovuto alla terza legge di Newton: quando le gambe spingono il vostro corpo verso il molo, esse esercitano anche sulla barca una forza uguale e in verso opposto, e questa forza spinge via la barca dal molo (c’è un esempio anche nel film “Passengers” quando Chris Pratt, alla deriva nello spazio, spinge verso un reattore un oggetto e automaticamente viene spinto nella direzione opposta).

Un esempio più sottile è fornito dalla bicicletta. È ben noto che stare in equilibrio su una bicicletta da fermo è quasi impossibile, mentre su una bicicletta in moto è piuttosto facile. Perché?

Diversi principi sono all’opera in questo caso. Supponete di sedervi su una bicicletta che stia ferma, e vi accorgete che si sta inclinando verso sinistra. Che cosa fate? La tendenza naturale è quella di inclinarvi verso destra, per controbilanciare quell’inclinazione mediante il vostro peso. Ma muovendo la parte superiore del vostro corpo verso destra, secondo la terza legge di Newton, state in realtà spingendo la bicicletta ad inclinarsi ancora di più verso sinistra. Forse dovreste inclinarvi verso sinistra per spingere la bicicletta indietro? Potrebbe funzionare per una frazione di secondo, ma a quel punto voi avete perso del tutto l’equilibrio. Non c’è modo!

Su una bicicletta in movimento, l’equilibrio è mantenuto mediante un meccanismo completamente diverso. Ruotando leggermente il manubrio a destra o a sinistra, voi impartite una certa rotazione alla ruota anteriore (“momento angolare”) per ruotare la bicicletta attorno al suo asse maggiore, la direzione di marcia della bicicletta. In questo modo il ciclista può controbilanciare ogni tendenza della bicicletta a cadere da un lato o dall’altro, senza innescare il circolo vizioso di azione e reazione.

Per scoraggiare i ladri, alcune biciclette montano un antifurto che blocca il manubrio in una posizione fissa. Se la posizione del manubrio è bloccata nella direzione in avanti, la bicicletta può essere condotta a mano da una persona che cammina, ma non può essere montata, poiché il ciclista non potrebbe mantenere l’equilibrio.

Le leggi di Newton sono state introdotte qui nel modo tradizionale, mediante i concetti di massa e di forza (in realtà Newton formulò la seconda legge in termini di quantità di moto, non di accelerazione). Ernst Waldfried Josef Wenzel Mach (1838 – 1916), fisico austriaco, tra l’altro scopritore di un rapporto tra la velocità di un oggetto in moto in un fluido e la velocità del suono nel fluido considerato, detto “numero di Mach”, cercò di evitare nuovi concetti e formulò le leggi fisiche soltanto in termini di ciò che può essere osservato e misurato. Egli sostenne che le leggi di Newton si potevano riassumere tutte in questa unica legge:

“Quando due oggetti di dimensioni trascurabili (in linguaggio tecnico “punti materiali”, nda) interagiscono tra loro, essi accelerano in direzioni opposte, e il rapporto delle loro accelerazioni è sempre lo stesso”.

Rileggete questa formulazione quante volte volete: non c’è alcuna menzione di forza, né di massa, ma soltanto di accelerazione, che può essere misurata. Quando una pistola agisce su un proiettile, un razzo sui suoi gas di scarico, il Sole sulla Terra (e nella scala della distanza che li separa, Terra e Sole possono essere considerati masse puntiformi), le accelerazioni sono sempre dirette in verso opposto.

Il lavoro di Mach venne ritenuto importantissimo da Einstein, e quest’ultimo lo usò per dare le fondamenta alla relatività generale. Il tutto, partendo da una mela caduta in testa a Newton! La prossima volta approfondirò un po’ di concetti espressi in questo articolo, sperando sempre di fare cosa utile anche a te, giovane lettore. Vedremo chi era Keplero e come vennero usate le sue formulazioni da Newton.

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