Personalità successive

”I sensi si dilettano con le cose che hanno le corrette proporzioni” (San Tommaso d’Aquino)

Mi occupo raramente di matematica, fondamentalmente per due motivi: sono ignorante in materia (qualcuno che conosco dice che non è così, ma perché non conosce i veri matematici) e perché la matematica è difficilmente spiegabile senza ricorrere alle formule.

Questa volta farò un’eccezione, e proverò a tenere il numero di formule al minimo indispensabile.

Leonardo Pisano, detto Fibonacci (Fibonacci sta per filius Bonacii) nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo diventasse un mercante e così si interessò della sua istruzione, in particolare curò l’apprendimento delle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa.

In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni.

Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. Dei suoi libri, abbiamo ancora copie del Liber abbaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), e Liber quadratorum. L’opera più importante è il Liber abbaci: è un lavoro suddiviso in quindici capitoli, contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale.

In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero “0”, per indicare le posizioni vacanti.

Certamente, molti dei problemi che Fibonacci considera nel Liber abbaci erano simili a quelli che apparivano nelle fonti arabe. La seconda parte del Liber abbaci contiene un’ampia raccolta dei problemi rivolti ai mercanti. Essi si riferiscono al prezzo dei prodotti, e insegnano come calcolare il profitto negli affari, come convertire il denaro nelle varie monete in uso negli stati mediterranei, ed altri problemi ancora di origine cinese. Un problema, nella terza parte del Liber abbaci, portò all’introduzione dei numeri di Fibonacci e della sequenza di Fibonacci, per la quale è ricordato ancora oggi.

Un altro dei libri di Fibonacci è il Practica geometriae, scritto nel 1220 e dedicato a Dominicus Hispanus. Esso contiene un’ampia raccolta di problemi geometrici, distribuiti in otto capitoli, unitamente a teoremi basati su Gli Elementi di Euclide e sulle divisioni sempre di Euclide. Il Liber quadratorum, scritto nel 1225, è un lavoro complesso ed ampio. Il nome del libro significa il libro dei quadrati ed è un libro sulla teoria dei numeri che, tra le altre cose, esamina i metodi per trovare il triplo pitagorico.

La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica.

Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.

I suoi studi furono così importanti che tutt’oggi esiste una pubblicazione periodica dedicata interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata, il Fibonacci Quarterly. Al matematico è stato anche dedicato l’asteroide 6765 Fibonacci.

Nel 1223 a Pisa, l’imperatore Federico II di Svevia, assistette a un singolare torneo tra abacisti e algoritmisti: in quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.

Il problema posto diceva così: “Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un’altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”

Fibonacci, vinse la gara dando al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato.

Ma come fece?

Semplicemente, fece un ragionamento:

Per natura ogni coppia di conigli genera in un mese un’altra coppia, e cominciano a procreare a partire dal secondo mese di vita. Il primo mese c’è solo una coppia di conigli, il secondo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il terzo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quinto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via.

Nacque così la celebre successione di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

  • i primi 2 elementi sono 1, 1;
  • ogni altro elemento è dato dalla somma dei due che lo precedono.

La successione di Fibonacci ha portato ad approfondire moltissimi ambiti della matematica e delle scienze naturali. Tuttavia pur avendo scoperto questa importante successione, Fibonacci non ne colse molti aspetti. Solo quattro secoli più tardi, Keplero osservò che il rapporto tra due termini successivi, tendeva alla Sezione Aurea.

La sezione aurea è la parte di una linea (L) divisa in due parti diseguali. La sua lunghezza ha una proporzione matematica particolare rispetto alla parte di linea rimanente. In particolare, la parte più corta (b) sta alla più lunga (a) come questa sta all’intero segmento, cioè b : a = a : L. Questa proporzione è molto frequente in natura, e viene riconosciuta come ideale di bellezza e armonia.

Tale rapporto è chiamato Φ, φ o ϕ (phi), ventunesima lettera dell’alfabeto greco e denota il numero irrazionale 1,6180339887…

La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale nella fillotassi, ossia la disposizione delle foglie nel gambo di fiori e piante.

Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami sul tronco tendono a disporsi in modo tale da avere una massima esposizione al sole: per questo motivo la loro successione segue un andamento rotatorio e spiraliforme.

Keplero, luminare della scienza del XVI e XVII secolo, fu il primo a scoprire intuitivamente il rapporto tra fillotassi e numeri di Fibonacci; nei suoi scritti egli afferma: “E’ in modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé [allusione alla natura ricorsiva della successione di Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà di accrescimento.”

In effetti analizzando le spirali formate dalle foglie nei rami di alcuni organismi vegetali, prima di completare un giro seguendo l’andamento rotatorio si contano un numero di elementi appartenente alla serie di Fibonacci.

Ananas

Uno dei più evidenti esempi di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci è l’ananas. Ognuna delle squame che rivestono questo frutto appartiene a tre spirali diverse, evidenziate in figura: una che sale da sinistra verso destra ripidamente (verde), una con angolazione minore sempre nella stessa direzione (blu) e un’ultima da destra verso sinistra (rossa). Le quantità di queste spirali presenti coincidono con i numeri della successione di Fibonacci.

Ma anche nell’arte ci furono esempi della successione di Fibonacci.

La civiltà classica greca si pose come scopo quello di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici: gli antichi architetti dunque nei loro edifici dovevano ricercare l’accordo tra le misure mediante la ripetizione di rapporti proporzionali privilegiati.

In particolare un celebre esempio di trionfo del rapporto divino come modulo è il Partenone dell’Acropoli di Atene, progettato dall’architetto Fidia, da cui deriva il nome Phi del Rapporto di cui parlavo prima.

Anche in epoca romana, nell’arco di Costantino la divina proporzione venne rispettata integralmente: nella distribuzione dei tre settori del fronte suddivisi dalle colonne, nell’altezza dei fornici, nel rettangolo aureo di altezza complessiva della parte centrale da cui si ricava il quadrato aureo nella parte del fregio. I settori laterali sottostanti il fregio presi a sé ripropongono di nuovo il rettangolo aureo dopo aver tagliato il quadrato aureo (area dei medaglioni soprastanti i fornici), rettangolo che è comunque proporzionale al rettangolo aureo dell’area centrale.

Ma è nel Rinascimento che abbiamo l’esempio più famoso: nel celebre Uomo vitruviano, in cui Leonardo stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Uomo vitruviano

Leonardo in ogni sua opera rimane legato al numero Φ; considerando dunque la sua tela più importante, La Gioconda, si noti come il rettangolo aureo è individuabile in più parti. E’ possibile inserire in questo particolare rettangolo la disposizione generale del quadro, le dimensioni del viso, l’area che va dal collo a sopra le mani e ancora quella che va dalla scollatura dell’abito fino alla fine inferiore del braccio sinistro.

Gioconda

La caratteristica principale di questa sequenza sta nel fatto che essa è definita in maniera ricorsiva, quindi per trovare un numero della serie è necessario conoscere tutti quelli precedenti.

Una delle meraviglie del numero aureo è la sua inesauribile capacità di generare figure di grande bellezza.

Dietro a questo numero ci sono oggetti di uso quotidiano come le carte di credito o più in alto dove lo sguardo si perde nelle galassie.

Non ci credete?

Facciamo un esperimento. Prendiamo due carte di credito e mettiamole come lo schema sotto indicato.

Se prolunghiamo la diagonale della carta orizzontale troveremo che coincide con il vertice della carta messa in verticale….Un caso?

Sta di fatto che questa proprietà la si trova solo nei “rettangoli aurei” cioè in quei rettangoli il cui rapporto fra i lati è legato al numero 1,618.

E voi, quanti rettangoli aurei avete in tasca?

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